2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тело на поверхности вращения
Сообщение28.07.2015, 13:02 


04/06/13
35
Тело массой $m$ скользит без трения по внутренней стороне поверхности вращения, уравнение которой $z=f(r)$. Функция $f(r)$ возрастающая и имеет вторую производную. Найти зависимость модуля силы реакции $N$ от расстояния $r$ тела до оси $z$. Направление силы тяжести противоположно направлению $z$.

Рассмотреть как частный случай параболоид $z=ar^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело на поверхности вращения
Сообщение28.07.2015, 13:08 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Недурно было бы еще начальные условия задать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело на поверхности вращения
Сообщение28.07.2015, 13:28 


04/06/13
35
DimaM в сообщении #1041015 писал(а):
Недурно было бы еще начальные условия задать.

Два интеграла движения считать заданными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело на поверхности вращения
Сообщение28.07.2015, 14:04 


10/02/11
6786
1) Пишем лагранжиан в цилиндрических координатах $(r,z,\phi)$ для точки движущейся под действием силы тяжести в $\mathbb{R}^3$

2) выписываем уравнение связи в дифференциальной форме: $\dot z-f'(r)\dot r=0\quad (*)$

3) Пишем уравнения Лагранжа со множителями: $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot z}-\frac{\partial L}{\partial z}=\lambda,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot r}-\frac{\partial L}{\partial r}=-\lambda f'(r)$$

4) находим $\lambda=\lambda (r,z,\phi,\dot r,\dot z,\dot \phi)$

Компаоненты (обобщенной) силы реакции поверхности в цилиндрических координатах это правые части уравнений Лагранжа

-- Вт июл 28, 2015 14:26:56 --

(Оффтоп)

задача, несомненно, очень важная и правильная с методической точки зрения. я ее специально развернул в русло лагранжева формализма (может, конечно, автор именно это и подразумевал) что бы на этом примере заинтересованные люди могли данный формализм глубже прочуствовать

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело на поверхности вращения
Сообщение28.07.2015, 18:14 


10/02/11
6786
Как связаны "физические" компоненты силы реакции в цилиндрических координатах c компонентами обобщенной силы реакции?

Напишием разложение силы реакции по базису цилиндрических коодинат:
$$\boldsymbol N=N_\phi\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \phi}+N_z\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial z}+N_r\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial r}$$
$\boldsymbol r(r,z,\phi)$ -- радиус-вектор материальной точки
С другой стороны по определению обобщенной силы $$Q_\phi=\Big(\boldsymbol N,\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \phi}\Big),\quad Q_z=\Big(\boldsymbol N,\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial z}\Big),\quad Q_r=\Big(\boldsymbol N,\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial r}\Big)$$
Отсюда
$$Q_\phi =N_\phi\Big\|\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \phi}\Big\|^2,\quad Q_z=N_z\Big\|\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial z}\Big\|^2,\quad Q_r =N_r\Big\|\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial r}\Big\|^2.$$
Компоненты обобщенной силы были вычислены на предыдущем этапе:
$$Q_z=\lambda,\quad Q_\phi=0,\quad Q_r=-\lambda f'(r).$$

О том, как вычислять множители Лагранжа:

Oleg Zubelevich в сообщении #700482 писал(а):
Рассмотрим систему с лагранжианом $L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)$. И пусть задана еще связь $y\dot x+\dot z=0.$ Спрашивается, как написать уравнения Лагранжа со множителями и наийти множители?

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=\lambda y,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial y}=0,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot z}-\frac{\partial L}{\partial z}=\lambda$$
Заметим, что правые части этих уравнений являются компонентами обобщенной силы реакции связи.
Уравнения Лагранжа приобретают вид $$\ddot x=\lambda y,\quad \ddot y=0,\quad \ddot z=\lambda  \qquad (*)$$
продифференцируем уравнение связи по времени:
$$\dot y\dot x+y\ddot x+\ddot z=0$$ и подставим сюда вторые производные из (*),
получим $\dot y\dot x+\lambda y^2+\lambda =0$
Находим $$\lambda=-\frac{\dot x\dot y}{1+y^2}$$


-- Вт июл 28, 2015 18:29:06 --

Для решения задачи можно также использовать уравнения Лагранжа 1-го рода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело на поверхности вращения
Сообщение28.07.2015, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
drobyshev в сообщении #1041013 писал(а):
скользит без трения по внутренней стороне поверхности вращения

Т.е. может от неё отрываться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело на поверхности вращения
Сообщение29.07.2015, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Похоже, иначе было бы просто "скользит по поверхности".

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело на поверхности вращения
Сообщение29.07.2015, 07:37 


04/06/13
35
Oleg Zubelevich в сообщении #1041032 писал(а):
я ее специально развернул в русло лагранжева формализма

Несомненно, с использованием этого формализма задача решается красиво (хотя первоначально я ее решал обычными методами):

$N=\dfrac{1}{(1+f'^2)^{3/2}} \left[ 2E f'' + \dfrac{M_z^2}{mr^3}(f' (1+f'^2) - rf'')+mg (1+f'^2-2f f'')\right]$.

Здесь сохраняющиеся величины $E$ - энергия и $M_z$ - момент импульса. Примечательно, что для параболоида квадратная скобка от $r$ не зависит.

-- 29.07.2015, 06:40 --

Geen в сообщении #1041124 писал(а):
Т.е. может от неё отрываться?

Утундрий в сообщении #1041174 писал(а):
Похоже, иначе было бы просто "скользит по поверхности".

Нет. Предполагается, что оторваться не может - это следовало бы указать в условии задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group