Тело на поверхности вращения

[drobyshev]

Тело массой $m$ скользит без трения по внутренней стороне поверхности вращения, уравнение которой $z=f(r)$. Функция $f(r)$ возрастающая и имеет вторую производную. Найти зависимость модуля силы реакции $N$ от расстояния $r$ тела до оси $z$. Направление силы тяжести противоположно направлению $z$.

Рассмотреть как частный случай параболоид $z=ar^2$.

[DimaM]

Недурно было бы еще начальные условия задать.

[drobyshev]

DimaM в сообщении #1041015 писал(а):

Недурно было бы еще начальные условия задать.

Два интеграла движения считать заданными.

[Oleg Zubelevich]

1) Пишем лагранжиан в цилиндрических координатах $(r,z,\phi)$ для точки движущейся под действием силы тяжести в $\mathbb{R}^3$

2) выписываем уравнение связи в дифференциальной форме: $\dot z-f'(r)\dot r=0\quad (*)$

3) Пишем уравнения Лагранжа со множителями:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot z}-\frac{\partial L}{\partial z}=\lambda,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot r}-\frac{\partial L}{\partial r}=-\lambda f'(r)$$

4) находим $\lambda=\lambda (r,z,\phi,\dot r,\dot z,\dot \phi)$

Компаоненты (обобщенной) силы реакции поверхности в цилиндрических координатах это правые части уравнений Лагранжа

-- Вт июл 28, 2015 14:26:56 --

(Оффтоп)

задача, несомненно, очень важная и правильная с методической точки зрения. я ее специально развернул в русло лагранжева формализма (может, конечно, автор именно это и подразумевал) что бы на этом примере заинтересованные люди могли данный формализм глубже прочуствовать

[Oleg Zubelevich]

Как связаны "физические" компоненты силы реакции в цилиндрических координатах c компонентами обобщенной силы реакции?

Напишием разложение силы реакции по базису цилиндрических коодинат:

$$\boldsymbol N=N_\phi\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \phi}+N_z\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial z}+N_r\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial r}$$

$\boldsymbol r(r,z,\phi)$ -- радиус-вектор материальной точки
С другой стороны по определению обобщенной силы

$$Q_\phi=\Big(\boldsymbol N,\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \phi}\Big),\quad Q_z=\Big(\boldsymbol N,\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial z}\Big),\quad Q_r=\Big(\boldsymbol N,\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial r}\Big)$$

Отсюда

$$Q_\phi =N_\phi\Big\|\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \phi}\Big\|^2,\quad Q_z=N_z\Big\|\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial z}\Big\|^2,\quad Q_r =N_r\Big\|\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial r}\Big\|^2.$$

Компоненты обобщенной силы были вычислены на предыдущем этапе:

$$Q_z=\lambda,\quad Q_\phi=0,\quad Q_r=-\lambda f'(r).$$

О том, как вычислять множители Лагранжа:

Oleg Zubelevich в сообщении #700482 писал(а):

Рассмотрим систему с лагранжианом $L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)$. И пусть задана еще связь $y\dot x+\dot z=0.$ Спрашивается, как написать уравнения Лагранжа со множителями и наийти множители?

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=\lambda y,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial y}=0,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot z}-\frac{\partial L}{\partial z}=\lambda$$

Заметим, что правые части этих уравнений являются компонентами обобщенной силы реакции связи.
Уравнения Лагранжа приобретают вид

$$\ddot x=\lambda y,\quad \ddot y=0,\quad \ddot z=\lambda \qquad (*)$$

продифференцируем уравнение связи по времени:

$$\dot y\dot x+y\ddot x+\ddot z=0$$

и подставим сюда вторые производные из (*),
получим $\dot y\dot x+\lambda y^2+\lambda =0$
Находим

$$\lambda=-\frac{\dot x\dot y}{1+y^2}$$

-- Вт июл 28, 2015 18:29:06 --

Для решения задачи можно также использовать уравнения Лагранжа 1-го рода.

[Geen]

drobyshev в сообщении #1041013 писал(а):

скользит без трения по внутренней стороне поверхности вращения

Т.е. может от неё отрываться?

[Утундрий]

Похоже, иначе было бы просто "скользит по поверхности".

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #1041032 писал(а):

я ее специально развернул в русло лагранжева формализма

Несомненно, с использованием этого формализма задача решается красиво (хотя первоначально я ее решал обычными методами):

$N=\dfrac{1}{(1+f'^2)^{3/2}} \left[ 2E f'' + \dfrac{M_z^2}{mr^3}(f' (1+f'^2) - rf'')+mg (1+f'^2-2f f'')\right]$.

Здесь сохраняющиеся величины $E$ - энергия и $M_z$ - момент импульса. Примечательно, что для параболоида квадратная скобка от $r$ не зависит.

-- 29.07.2015, 06:40 --

Geen в сообщении #1041124 писал(а):

Т.е. может от неё отрываться?

Утундрий в сообщении #1041174 писал(а):

Похоже, иначе было бы просто "скользит по поверхности".

Нет. Предполагается, что оторваться не может - это следовало бы указать в условии задачи.