Убегаем от нуля, слабо к нему прикасаясь. II

[Ivan Feshchenko]

Пусть $p\in(1,+\infty)$, и $l^p$ есть классическое банахово пространство последовательностей (действительных или комплексных), суммируемых в $p$-ой степени.
Для двух последовательностей $\{\alpha_n:n=1,2,...\}$ и $\{\beta_n:n=1,2,...\}$ определим

$$v_n=(0,0,...,0,\alpha_n,\beta_n,0,...)=\alpha_n e_n+\beta_n e_{n+1}, n=1,2,...$$

.
Тут число $\alpha_n$ стоит на $n$-ом месте, $\beta_n$ на $(n+1)$-ом, а $e_1,e_2,...$ есть стандартный базис пространства $l^p$.

Задача: для каких последовательностей $\{\alpha_n:n=1,2,...\}$ и $\{\beta_n:n=1,2,...\}$ элемент $0$ принадлежит слабому замыканию множества $\{v_n:n=1,2,...\}$?

Замечание. Эта задача является естественным обобщением задачи "Убегаем от нуля, слабо к нему прикасаясь", предложенной AGu;
правильный ответ дал hippie.