2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 20:06 
Заслуженный участник


11/05/08
31745
Someone в сообщении #1040223 писал(а):
Но если нужны количественные оценки погрешности, то с самого начала вместо $o(h^2)$ нужно писать остаточный член в соответствующей форме.

Не нужно по двум причинам. С одной стороны, это некоторая морока и обычно ничего хорошего не получается. С другой стороны, для практических целей нужен вовсе не явный вид остаточного члена, а лишь тот факт, что погрешность имеет соответствующую асимптотику относительно $h$. Ну так она и имеет.

Кстати, именно по этой причине тейлоровский подход -- не более чем бантик к интерполяционному. Практически полезной информации он почти не даёт, а мороки больше.

Someone в сообщении #1040223 писал(а):
Если гладкость функции недостаточная, погрешность формулы растёт.

А это уже другой вопрос. Поскольку здесь разговор идёт о численном дифференцировании, то базовой является такая теорема: если гладкость достаточна (если существует и ограничена $f^{(n+1)}$), то погрешность оценивается как $O(h^{n+1-l})$. И есть два дополнения к ней:

1) для симметричных формул при соответствующих дополнительных условиях порядок точности оказывается на единицу выше (естественно, если есть соответствующий запас гладкости);

2) если гладкости не хватает (есть лишь $f^{(m)}$), то порядок точности соответственно снижается (до всего лишь $O(h^{m-l})$).

Так вот, наиболее важна именно базовая теорема (она, кстати, и доказывается не просто, а очень просто, в отличие от остального). Ибо это -- случай общего положения. Нужно знать и первое дополнение. А вот что касается второго -- достаточно лишь помнить о его существовании, чтобы быть готовым к возможным неприятностям.

И по тем же соображениям полезно помнить (не более того) о существовании дополнения к первому дополнению: для некоторых функций в некоторых точках фактическая точность может оказаться ещё выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение25.07.2015, 00:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31745

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1040233 писал(а):
Практически полезной информации он почти не даёт

Пардон, очипятка. Имелось в виду, естественно, что практически полезной дополнительной информации он почти не даёт

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group