Число степеней свободы

[Anton_Peplov]

В ЛЛ1 дается такое определение: числом степеней свободы называется количество независимых величин, которое необходимо для однозначного определения положения системы в пространстве. Такое же определение дает и Савельев в "Основах теоретической физики". Вопрос заключается в том, что здесь означает слово "величина" с точки зрения математики. Прибегнув к здравому смыслу и вспомнив, что мы собираемся описывать движение, можно предположить, что величина - функция $f(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $t$ - время. Однако тут нас ожидает кочка: как заповедано вождем и учителем Кантором, $\mathbb{R}$ равномощно $\mathbb{R}^3$, а значит, для описания положения свободной материальной точки достаточно одной "величины". А степеней свободы у нее, как известно, три. Снова прибегнув к здравому смыслу и вспомнив, что мы собираемся записывать дифуры, можно прийти к такому определению: величина - это дифференцируемая функция $f(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $t$ - время. Кантор не возражает, ибо любая биекция $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ при $n \ne m$ не непрерывна, а значит, и не дифференцируема.

Итак, приходит к следующему определению: числом степеней свободы называется количество независимых друг от друга дифференцируемых функций времени, которое необходимо для однозначного определения положения системы в пространстве.

Собственно, вопрос: я нигде тут не ошибся?

P.S. Число степеней свободы математически строго определяется у Арнольда в "Математических методах...", но, взглянув на это определение, я в ужасе отшатнулся. Там сначала нужно выучить дифференциальную топологию. У меня сейчас нет на это ресурсов.

[Oleg Zubelevich]

Самое простое, определение (которое , правда, годится только для голономных систем) следующее: числом степеней свободы называется размерность конфигурационного многообразия. Думаю, что у Арнольда написано тоже самое. Диф. топология тут ни при чем, это основы диф. геометрии.

[Anton_Peplov]

Да, у Арнольда именно это и написано.
Дифгеометрии так дифгеометрии. Я пока не знаю ни дифтопологии, ни дифгеометрии, поэтому разницу между ними представляю смутно. Но мне казалось, что "многообразие" - термин топологический.

[Oleg Zubelevich]

Все необходимое для Вас на данном этапе содержится в учебнике Арнольда. В том числе и определение многообразия

-- Сб июл 18, 2015 00:38:23 --

Еще есть хороший учебник Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. ЛЛ-1 это далеко не лучшая книга.