Неравенства.

[Xom]

Здравствуйте, столкнулся с огромными трудностями в решении вроде бы самого простого неравенства
Допустим

$$ \frac{1}{x} < z$$

Я хочу выразить x, по неизвестным законам, но практически я делал это взяв обратное от обоих частей и поменяв знаки.

$$ \frac{1}{ \frac{1}{x} } > \frac{1}{z} \Rightarrow x> \frac{1}{z} $$

Объясните пожалуйста как тут все должно по уму, никаким домножением я не могу получить в одной части x, без образования его в другой части.
Как это делается по уму?
Изначально был вопрос решить такой вид

$$ \mid \frac{a}{x} \mid < \alpha $$

Что приводило к двойному неравенстве, где выражение заключено между минус альфа и плюс альфа, оттуда и вставал вопрос вывести икс.
Правильно ли будет решить его аналогично - взять обратное от всех частей и поменять знаки?
Объясните пожалуйста.

[TOTAL]

Xom в сообщении #1037313 писал(а):

Объясните пожалуйста.

$ \dfrac{1}{|x|} < 5$

Сможете такое неравенство решить?

[Xom]

$x < - \frac{1}{5} $ и $ x > \frac{1}{5}$
Если решать так же как и до этого то получается $ \mid x \mid > \frac{1}{5} $, что вроде бы тоже верно.

[TOTAL]

Правильно. Так что сами можете ответить на свой первоначанльный вопрос про

$$ \mid \frac{a}{x} \mid < \alpha $$

[Xom]

Тоесть это решение верно?

$$\mid \frac{a}{x} \mid < \alpha $$

$$ - \alpha < \frac{a}{x} < \alpha $$

$$ - \frac{ \alpha }{a} < \frac{1}{x} < \frac{ \alpha }{a} $$

$$ - \frac{ a }{\alpha} > x > \frac{ a }{\alpha}$$

все же не понимаю магии.
То задание решилось как то автоматически подбором в голове.

[ewert]

Xom в сообщении #1037331 писал(а):

все же не понимаю магии.

Угадайте, какой из трёх магических переходов неверен.

[Xom]

ewert в сообщении #1037334 писал(а):

Xom в сообщении #1037331 писал(а):

все же не понимаю магии.

Угадайте, какой из трёх магических переходов неверен.

Самый первый в первом сообщении в теме.
Я не понимаю чему и по каким законом переворачиваю и меняю знаки.
Поэтому делая это дальше в более сложном непонимаю ещё больше.
т.е шаг четыре полностью неясен, там и ошибка.

[ewert]

Xom в сообщении #1037336 писал(а):

Самый первый в первом сообщении в теме.

А я имел в виду -- в предыдущем сообщении.

Что же касается самого первого: любое неравенство сохраняется, если его умножить на положительное число, и переворачивается, если на отрицательное. Поэтому

$$\frac1x>z\ \Rightarrow\ x\cdot\frac1x>x\cdot z\ \Rightarrow\ \frac1z\cdot x\cdot\frac1x>\frac1z\cdot x\cdot z\ \Leftrightarrow\ \frac1z>x$$

-- но, конечно, только если $x,z>0$.

Теперь угадайте всё-таки, какой переход неверен в Вашем предыдущем сообщении.

[Nemiroff]

Xom в сообщении #1037313 писал(а):

$$ \frac{1}{x} < z$$

Допустим, $z>0$. Заметим, $x\neq 0$.
Тогда если $x<0$, то неравенство автоматически выполняется. Если же $x>0$, то домножим обе части на $x$, а затем поделим на $z$, знаки не меняются, получаем $\frac{1}{z}<x$. То бишь, ответ $x<0$ и $\frac{1}{z}<x$.

Допустим, $z<0$. Тогда, если $x>0$, то неравенство неверно. Если же $x<0$, то домножаем на него, делим на $z$, дважды меняем знак у неравенства и получаем $\frac{1}{z}<x$. Так как в этом случае $x<0$, то окончательный ответ $\frac{1}{z}<x<0$.

Если $z=0$, то ответ, очевидно $x<0$.

[TOTAL]

Xom в сообщении #1037331 писал(а):

Тоесть это решение верно?

$$\mid \frac{a}{x} \mid < \alpha $$

Запишите $\mid \dfrac{a}{x} \mid < \alpha $ в виде $ \dfrac{1}{|x|} \mid < 5$, которое решать умеете.

[Xom]

ewert в сообщении #1037339 писал(а):

Xom в сообщении #1037336 писал(а):

Самый первый в первом сообщении в теме.

А я имел в виду -- в предыдущем сообщении.

Что же касается самого первого: любое неравенство сохраняется, если его умножить на положительное число, и переворачивается, если на отрицательное. Поэтому

$$\frac1x>z\ \Rightarrow\ x\cdot\frac1x>x\cdot z\ \Rightarrow\ \frac1z\cdot x\cdot\frac1x>\frac1z\cdot x\cdot z\ \Leftrightarrow\ \frac1z>x$$

-- но, конечно, только если $x,z>0$.

Теперь угадайте всё-таки, какой переход неверен в Вашем предыдущем сообщении.

$$\frac1x>z\ \Rightarrow\ x\cdot\frac1x>x\cdot z\ \Rightarrow\ \frac1z\cdot x\cdot\frac1x>\frac1z\cdot x\cdot z\ \Leftrightarrow\ \frac1z>x$$

-- но, конечно, только если $x,z>0$.
Исходное

$$ \frac1x>z\ $$

Умножаем обе части на положительное

$$ x\cdot\frac1x>x\cdot z\ $$

все честно.
Умножаем на отрицательное ?? ( тогда $ - \frac{1}{z} $ - положительно )

$$ \frac1z\cdot x\cdot\frac1x>\frac1z\cdot x\cdot z\ $$

Из записи последнего я так понимаю $ \frac{1}{z} $ - отрицательное ??тогда " переворачивается, если на отрицательное"
опять записываю исходное

$$ x\cdot\frac1x>x\cdot z\ $$

1) домножаю на $ \frac{1}{z} $ (где $ \frac{1}{z} $ - отрицательное) ->

$$ \frac{1}{z} \cdot x\cdot\frac1x>x\cdot z\ \cdot \frac{1}{z} $$

домножил.меняю знаки.

$$ \frac{1}{z} \cdot x\cdot\frac1x<x\cdot z\ \cdot \frac{1}{z} $$

сокращаю

$$ \frac{1}{z} < x $$

ответ неверен.
Я видимо непонимаю какой то принципиально простой принцип.

-- 15.07.2015, 13:26 --

TOTAL в сообщении #1037357 писал(а):

Xom в сообщении #1037331 писал(а):

Тоесть это решение верно?

$$\mid \frac{a}{x} \mid < \alpha $$

Запишите $\mid \dfrac{a}{x} \mid < \alpha $ в виде $ \dfrac{1}{|x|} \mid < 5$, которое решать умеете.

Да в том то и дело, что если я знал как я его решил, я просто воспользовался магией - сделал обратные величины и изменил знак, не раскрывая модуль.
Проверил так - представил ось и просто увидел решения, так как значения одни и теже только знаки разные - взял по модулю, знак сохранил для положительных, т.к модуль - положителен.

[TOTAL]

Xom в сообщении #1037361 писал(а):

Да в том то и дело, что если я знал как я его решил, я просто воспользовался магией - сделал обратные величины и изменил знак, не раскрывая модуль.
Проверил так - представил ось и просто увидел решения, так как значения одни и теже только знаки разные - взял по модулю, знак сохранил для положительных, т.к модуль - положителен.

Тогда снова решите уравнение $\dfrac{1}{|x|} < \dfrac15$, объясняя свои действия.

[Xom]

Nemiroff в сообщении #1037341 писал(а):

Xom в сообщении #1037313 писал(а):

$$ \frac{1}{x} < z$$

Допустим, $z>0$. Заметим, $x\neq 0$.
Тогда если $x<0$, то неравенство автоматически выполняется. Если же $x>0$, то домножим обе части на $x$, а затем поделим на $z$, знаки не меняются, получаем $\frac{1}{z}<x$. То бишь, ответ $x<0$ и $\frac{1}{z}<x$.

Допустим, $z<0$. Тогда, если $x>0$, то неравенство неверно. Если же $x<0$, то домножаем на него, делим на $z$, дважды меняем знак у неравенства и получаем $\frac{1}{z}<x$. Так как в этом случае $x<0$, то окончательный ответ $\frac{1}{z}<x<0$.

Если $z=0$, то ответ, очевидно $x<0$.

Это решение понял.
Правда довольно долгое и кажется, что для больше числа перемененных и двойного неравенства придется рассматривать гораздо большее число случаев.
Подумаю.

-- 15.07.2015, 14:11 --

TOTAL в сообщении #1037371 писал(а):

Xom в сообщении #1037361 писал(а):

Да в том то и дело, что если я знал как я его решил, я просто воспользовался магией - сделал обратные величины и изменил знак, не раскрывая модуль.
Проверил так - представил ось и просто увидел решения, так как значения одни и теже только знаки разные - взял по модулю, знак сохранил для положительных, т.к модуль - положителен.

Тогда снова решите уравнение $\dfrac{1}{|x|} < \dfrac15$, объясняя свои действия.

Наверно вы имели ввиду $ \dfrac{1}{|x|} < 5$
Для начала вижу, что требуется найти такое число слева, которое будет меньше 5.
слева вижу, что это икс делит единицу, значит как точку рассматриваю $\frac{1}{5}$, так как обратное равно 5, а нам надо меньше, соотвественно надо что бы знаменатель был больше, поэтому $ x > \frac{1}{5}$ при этом
Модуль добавляет мне отрицательную ось, икс принимает такие же значения, только в случае с отрицательным эти значения меньше $ \frac{1}{5} $.
Так как значения икс, при которых неравенство выполняется различаются только знаком, ответ можно взять по модулю $ \mid x \mid > \frac{1}{5} $.

[Xom]

Другой вариант решение:

$$ \dfrac{1}{|x|} < 5$$

$$-5 < \frac{1}{x} <5$$

$$-5 x < 1 < 5 x$$

$$-x < \frac{1}{5} < x $$

Эта запись говорит о том, что икс больше $\frac{1}{5}$ и о том, что минус икс меньше $ - \frac{1}{5}$, при этом первое неравенство выполняется.
Вроде бы правильно, скажите пожалуйста так ли это, себя я уже не доверяю.

[ewert]

Xom в сообщении #1037443 писал(а):

$$ \dfrac{1}{|x|} < 5$$

$$-5 < \frac{1}{x} <5$$

$$-5 x < 1 < 5 x$$

$$-x < \frac{1}{5} < x $$

Угадайте, какой из трёх переходов неверен на этот раз.