Радиус сходимости степенного ряда -- решения ОДУ

[questioner]

Здравствуйте!

Есть задача: найти четыре первых члена степенного ряда, являющегося решением задачи Коши
y'(x) = x - y^2, y(0) = 0
и оценить радиус сходимости этого ряда.

Понятно, как искать ряд, но не ясно, как оценить радиус сходимости, не решая уравнение аналитически.

Четыре первых члена степенного ряда это
a_0 = 0, a_1 = 0, a_2 = \frac12, a_3 = 0

Пожалуйста, подскажите, как оценить радиус сходимости. (Кажется, что радиус сходимости около 2, что следует из того, что решение примерно там уходит в бесконечность -- численно решая в Mathematica)[/math]

[Андрей123]

Точно не знаю, но может быть надо оценить насколько можно продолжить решение, существование и единственность которого в некоторой окрестности обеспечивает теорема Коши.

[Taras]

Радиус сходимости посчитать тут будет сложно(единственный метод, который я знаю -это применить теорему Коши-Адамара, но для етого нужно знать общий член).Несколько членов вы написали применив теорму Пикара, ведь так?Возможно есть какая-то закономерность ?
Возможно, нужно оценить погрешность приближения а не радиус сходимости?

[questioner]

Андрей123, мне кажется, вопрос заключается как раз в том насколько можно продолжить решение. Теорема Коши говорит о локальной продолжимости.
Есть глобальная теорема, которая говорит, что решение можно продолжать неограниченно, если векторное поле в правой части растёт не быстрее линейного. Но в данном случае её применить нельзя, потому что векторное поле растёт квадратично, и решение за конечное время уходит в бесконечность. Видимо нужно как раз определить этот момент времени (здесь я называю x временем).
Может быть есть какой-нибудь способ по виду правой части определить радиус сходимости?

[Brukvalub]

Это вряд ли. Например, уравнение

\[y' = \frac{x}{{(1 + x^2 )^2 }}\]

имеет бесконечно гладкую и т.п. правую часть, а все его решения разлагаются в степенной ряд с центром в нуле с радиусом сходимости 1 (есть особенность в комплексной плоскости на расстоянии 1 от нуля)

[questioner]

Brukvalub писал(а):

Это вряд ли. Например, уравнение

\[y' = \frac{x}{{(1 + x^2 )^2 }}\]

имеет бесконечно гладкую и т.п. правую часть, а все его решения разлагаются в степенной ряд с центром в нуле с радиусом сходимости 1 (есть особенность в комплексной плоскости на расстоянии 1 от нуля)

Согласен. Видимо тогда другого способа, как найти решение аналитически или найти общий член ряда нет?
Если кто-то узнает другие способы, напишите пожалуйста, буду очень признателен.