Быстрая L_1 сходимость

[kp9r4d]

Пусть у нас есть последовательность измеримых функций $f_n$ и функция $f$ такая, что $\sum_n ||f_n - f||_{L_1} < \infty$.
а) Доказать что $f_n$ сходится почти всюду к $f$.
б) Доказать что $f_n$ сходится почти равномерно к $f$. (для любого $\varepsilon>0$ существует множество меры максимум что $\varepsilon$, что вне него сходится равномерно).

-- 13.07.2015, 21:00 --

Из попыток решения, я думал в б) рассмотреть функцию $F(x) = \sum_n ||f_n(x) - f(x)||_{L_1}$ и меру $F(x)d\mu$ и попытаться применить теорему Лузина, но что-то непонятно, что это даёт относитеьно этой (новой) меры, но непонятно что это даёт.

[Oleg Zubelevich]

применяем к ряду $\sum_n(f_{n+1}-f_n)$

-- Пн июл 13, 2015 23:22:30 --

kp9r4d в сообщении #1036767 писал(а):

Доказать что $f_n$ сходится почти равномерно к $f$. (для любого $\varepsilon>0$ существует множество меры максимум что $\varepsilon$, что вне него сходится равномерно).

похоже на теорему Егорова, но в ней нужна конечность меры

[kp9r4d]

Долго тупил над самым первым предложением в доказательстве, а ведь по сути это просто теорема Тонелли о перестановке суммы и интеграла (для неотрицательных функций)! И оно решает пункт а).
По-поводу пункта b) вот что придумал (то что хотел сказать в первом посте, но сейчас скажу более аккуратно) Пусть мы работаем в пространстве с мерой $(X, B, \mu)$, рассмотрим меру $\psi (A) = \int_A F(x) d\mu$ где $F(x) = \sum_n |f_n(x) - f(x)|$. Докажем теперь, что $f_n$ сходится почти равномерно к $f$.
$f_n$ сходится почти равномерно к $f$ означает ровно следующее: для любой пары $(\varepsilon, \delta) : \varepsilon,\delta > 0$ существует пара из множества и натурального числа $(A,N_0)$ такая, что, $\mu(A) < \varepsilon$ и для любого $n>N_0$ и $x\in X \setminus A$ выполнено $|f_n(x) - f(x)| < \delta$. Будем искать по паре чисел $(\varepsilon, \delta)$ нужную пару множество-число $(A,N)$.
Зафиксируем $\varepsilon>0$ и по теореме Егорова в пространстве $(X,B,\psi)$ (с конечной мерой) найдём множество $A_\varepsilon : \psi(A) < \varepsilon$ такое, что вне него $|f_n-f|<\delta$ c некоторого номера $N_{\varepsilon,\delta}$. Зафиксируем $\delta>0$ и построем множество $A_{\varepsilon, \delta} := \{x \in A_\varepsilon : |f_n(x)-f(x)| > \delta \text{ для какого-то n}\}$. Очевидна оценка $ \mu(A_{\varepsilon,\delta})\delta < \psi(A_{\varepsilon,\delta})$ или $\mu(A_{\varepsilon,\delta}) < \varepsilon/\delta$
Теперь по паре $(\varepsilon,\delta)$ вернём $(A_{\varepsilon \min( \delta, 1), \min(\delta,1)},N_{\varepsilon,\delta})$
Легко проверить, что
а) $\mu (A_{\varepsilon \min( \delta, 1), \min(\delta,1)}) < \frac{\varepsilon \delta}{\delta} < \varepsilon$
б) В множестве $A_\varepsilon \setminus A_{\varepsilon \min( \delta, 1), \min(\delta,1)}$ имеем $|f_n(x)-f(x)| < \min(\delta,1)$ для любого $n$ просто по определению $A_{\varepsilon \min( \delta, 1), \min(\delta,1)}$.
в) В множестве $X \setminus A_{\varepsilon}$ имеем равномерную сходимость по теореме Егорова (точнее, имеем неравенство $|f_n(x) - f(x)| < \delta$ при всех $n>N_{\varepsilon,\delta}$)

Хотелось бы, чтобы кто-то проверил.