Учебные примеры линейных операторов

[Anton_Peplov]

Хочу собрать коллекцию простых эффектных примеров линейных операторов над элементами линейного пространства, которые можно приводить при введении в тему.

Порывшись в голове и литературе, нашел следующие:

1. Умножение на фиксированную константу.
2. Поворот вектора на фиксированный угол.
3. Проецирование вектора на фиксированную ось.
4. Интегрирование и дифференцирование - примеры эффектные, но трудные тем, что вводятся в бесконечномерных пространствах, да и выбор базиса там, доказательство, что это базис, и демонстрация разложения по нему требует нескольких понятий и теорем матанализа. Хотелось бы более наглядных примеров.

Что еще я упустил? Помогайте.

(Оффтоп)

У меня уже была тема про линал, так что уважаемые власть предержащие, если сочтут нужным, могут их объединить. Но она открывалась обсуждением другого вопроса, а заехала и вовсе непонятно куда, так что я почел за благо открыть новую тему.

[Oleg Zubelevich]

хотите понять этот предмет -- прочитайте Кострикина Манина Линейная алгебра и геометрия. Это, правда, книжка для взрослых, но если постараетесь то осилите.

[Xaositect]

Транспонирование матрицы.
Умножение на постоянный многочлен/функцию в пространстве многочленов/функций.
Вычисление значения функции/многочлена в одной или нескольких точках.
И наоборот - интерполяция многочлена по значениям.

Anton_Peplov в сообщении #1035531 писал(а):

4. Интегрирование и дифференцирование - примеры эффектные, но трудные тем, что вводятся в бесконечномерных пространствах, да и выбор базиса там, доказательство, что это базис, и демонстрация разложения по нему требует нескольких понятий и теорем матанализа. Хотелось бы более наглядных примеров.

А зачем базис? Вам же линейные операторы нужны. Ну или если хочется базиса, то возьмите многочлены

[Anton_Peplov]

Скалярное умножение на фиксированный вектор.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1035531 писал(а):

4. Интегрирование и дифференцирование - примеры эффектные, но трудные тем, что вводятся в бесконечномерных пространствах,

Примеры интегрирования в рамках линейной алгебры малоуместны. Дифференцирования же -- прекрасно и стандартно приводятся для пространства многочленов ограниченной степени. Более того: они там попросту необходимы в связи с теорией линейных дифуров.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #1035583 писал(а):

Примеры интегрирования в рамках линейной алгебры малоуместны.

а вот Кострикин с Маниным так не думают

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1035595 писал(а):

а вот Кострикин с Маниным так не думают

Это их личные проблемы; я-то тут при чём?...

[Pphantom]

Исправил опечатку в названии темы.

[Legioner93]

Оператор трансляции
Интегральные преобразования (преобразование Фурье)
Дифференциальные преобразования (оператор импульса)
Отображение, сопоставляющее функции коэффициенты её ряда Фурье
Вычисление значения функции в точке.
Предел функции или последовательности
Обобщённые функции - как линейный функционал

[Anton_Peplov]

Эк Вы хватили! Речь идет о том, какие примеры приводить студентам на первом занятии по линейным операторам. Они про преобразование Фурье, а тем более про обобщенные функции, слыхом не слыхивали. А про оператор трансляции не слыхивал и аз, грешный.

[Legioner93]

Ничего сложного нет. Просто сдвиг функции "вправо", просто интеграл с параметром, просто производная. Ну последний пункт можно выкинуть. А в 4-ом заменить Фурье на Тейлора -- уж с ним-то студенты знакомы.

[arseniiv]

По мотивам трансляции и некоторых других штук: вообще, если $Y$ — линейное пространство, любая функция $s\colon X\to X$ порождает линейный оператор на $X\to Y$ (линейном естественно из-за $Y$), а именно оператор $f\mapsto f\circ s$.
Хотя тут не важно, линейная структура или какая-то другая, таким образом любой гомоморфизм $(X\to Y)\to(X'\to Y)$ можно получить, если иметь в виду структуру, индуцируемую $Y$ на $\ldots\to Y$. [Что-то не помню, есть ли у этого факта название — а должно бы!]