Еще задача о трёх комплексных числах.

[sergey1]

На комплексной плоскости выбрали 3 точки $A,B,C$ являющиеся вершинами треугольника. Докажите, что фокусы эллипса, касающегося сторон этого треугольника в серединах, являются корнями производной многочлена $(z-A)(z-B)(z-C)$

[Evgenjy]

Известное свойство вписанного эллипса Штейнера. Можно попробовать доказать без привлечения теории изогонально сопряженных точек, или в решении пересказать нужные факты. Надо принять $A=0$ и использовать теорему Виета. Легко доказать, что сума фокусов есть $2/3$ от $B+C$. Сложнее с произведением фокусов.