Запаздывающее поле

[rustot]

Заряд, находящийся по наблюдаемым из начала координат (запаздывающим) координатам $\vec{r}$ создает в начале координат поле c потенциалами

$\varphi = \frac{q}{r+\vec{v}\vec{r}/c} = \frac{q}{r(1+r'/c)}$
$\vec{A} = \frac{\vec{v}}{c} \varphi$

В этих формулах $r$, $\vec{r}$ это то что мы "видим" из начала координат в данный момент, но $\vec{v}$, $r'$ это не те скорости которые мы "видим", а реальные. Если же мы хотим все величины выразить через "видимые", то необходимо произвести замены:

$\vec{v} \rightarrow \frac{\vec{v}}{1-r'/c}$
$r' \rightarrow \frac{r'}{1-r'/c}$

И тогда в выражении только через "видимые" величины получается симпатично:

$\varphi = \frac{q(1-r'/c)}{r}$
$\vec{A} = \frac{q\vec{v}}{c r}$

Одно слагаемое поля

$-\frac{1}{c}\frac{d}{dt}\vec{A} = -\frac{q}{c^2 r} (\vec{a} - \frac{\vec{v}r'}{r})$

Второе слагаемое

$-\nabla \varphi = -\frac{q}{r^2} (-(1-r'/c)\nabla r - \frac{r}{c}\nabla r')$

$\nabla r = -(1-r'/c) \hat{r}$

$\nabla r' = \frac{r''}{c}\hat{r} - (1-r'/c)\hat{r}'$

$-\nabla\varphi = -\frac{q}{r^2}(((1-r'/c)^2-\frac{r r''}{c^2})\hat{r} + \frac{r}{c} (1-r'/c) \hat{r}')$

И объединяя это вместе

$\vec{E} = -\frac{q}{r^2}(((1-r'/c)^2-\frac{r r''}{c^2})\hat{r} + \frac{r}{c} (1-r'/c) \hat{r}' + \frac{r}{c^2}\vec{a} - \frac{1}{c^2} \vec{v} r')$

Разложив $\vec{v} = r \hat{r}' + r'\hat{r}$ получим:

$\vec{E} = -\frac{q}{r^2}((1- 2 r'/c-\frac{r r''}{c^2})\hat{r} + \frac{r}{c} (1 - 2 r'/c) \hat{r}' + \frac{r}{c^2}\vec{a})$

Разложив $\vec{a} = r'' \hat{r} + 2 r' \hat{r}' + r \hat{r}''$ получим

$\vec{E} = -\frac{q}{r^2}((1- 2 r'/c)\hat{r} + \frac{r}{c} \hat{r}' + \frac{r^2}{c^2}\hat{r}'')$

Спрятать некрасивый $2 r'/c$ поможет трюк $\frac{r^3}{c} (\frac{\hat{r}}{r^2})' = \frac{r}{c} \hat{r}' - \frac{2r'}{c}\hat{r}$

$\vec{E} = -q(\frac{\hat{r}}{r^2} + \frac{r}{c}(\frac{\hat{r}}{r^2})'+\frac{1}{c^2}\hat{r}'')$

[rustot]

$u = \frac{\vec{r}\vec{v}}{r c} = \frac{r'}{c}$

$\vec{E} = -\frac{q}{r^2}((1- 2 u)\hat{r} + \frac{r}{c} \hat{r}' + \frac{r^2}{c^2}\hat{r}'')$

$\hat{r} = \frac{1}{r}\vec{r}$
$\hat{r}' = \frac{1}{r}\vec{v} - \frac{u c}{r^2}\vec{r}$
$\hat{r}'' = \frac{1}{r}\vec{a} - \frac{2 u c}{r^2} \vec{v} -\frac{u' c}{r^2}\vec{r} + \frac{2 u^2 c^2}{r^3}\vec{r}$

$(1-2u)\hat{r} = (\frac{1}{r} - \frac{2 u}{r})\vec{r}$
$\frac{r}{c}\hat{r}' = \frac{1}{c}\vec{v} - \frac{u}{r}\vec{r}$
$\frac{r^2}{c^2}\hat{r}'' = \frac{r}{c^2}\vec{a} - \frac{2 u}{c} \vec{v} - \frac{u'}{c}\vec{r} + \frac{2 u^2}{r}\vec{r} $

$\vec{E} = -\frac{q}{r^2}(((1-u)(1-2 u) - \frac{u' r}{c})\frac{\vec{r}}{r} + (1-2 u)\frac{\vec{v}}{c} + \frac{r}{c^2}\vec{a})$

$-\frac{u'}{c}\vec{r} = - \frac{r}{c^2}\vec{a_r}$

$\vec{E} = -\frac{q}{r^2}((1-2 u)((1-u) \frac{\vec{r}}{r} + \frac{\vec{v}}{c}) + \frac{r}{c^2}(\vec{a}-\vec{a_r}))$
$\vec{E} = -\frac{q}{r^3}((1-2 u)((1-u) \vec{r} + \frac{r}{c}\vec{v}) - \frac{1}{c^2} \vec{r}\times(\vec{r}\times\vec{a}))$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствует формулировка предмета обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.