Предел как система стягивающихся интервалов

[2old]

Последовательность $\{x_n\}\in\mathbb{R}$ имеет конечный предел $a\in\mathbb{R}$
Доказать, что $\bigcap\limits_{\alpha>0}\bigcup\limits_{\beta>0}\bigcap\limits_{n>\beta} (x_n-\alpha,x_n+\alpha)=\{a\}$

Задача в общем не сложная, в том смысле что результат и метод какой ожидаются понятен. Но я не понимаю как сделать один переход, проясните, пожалуйста.

1. Запишем определение предела для последовательности ${x_n}$

$$\forall\varepsilon>0 \exists N>0: \forall n>N |x_n-a|<\varepsilon$$

2. В предложенных обозначениях

$$\forall \alpha>0 \exists\beta>0: \forall n>\beta |x_n-a|<\alpha\Leftrightarrow \forall \alpha>0 \exists\beta>0: \forall n>\beta$$

$$a\in(x_n-\alpha,x_n+\alpha)$$

3. Но раз выполнено для всех таких $n>\beta$, то будет лежать в их пересечении, поэтому:

$$\Leftrightarrow\forall \alpha>0 \exists\beta>0: a\in\bigcap\limits_{n>\beta}(x_n-\alpha,x_n+\alpha)$$

Дальше мне понятно, что будет $\alpha$ -- опять же раз для всех, то лежит в пересечении, и как раз таким образом зажмем множество только до предельной точки $\{a\}$. А как "существует" и объединение связаны мне не ясно.

[demolishka]

От противного. Если не существует, то и в объединении не лежит.
Или, если лежит в объединении, то лежит в каком-то из его элементов - пересечений.