Создание периодического выражения

[ananova]

Вот такое выражение
X=((-1)^N+1)/2

Для N = 1,2,3, 4, ....
X принимает значение 0,1, 0,1, 0,1, 0,....

Я немножко поэкспериментировал с синусами и косинусами и добился, такой последовательности:

1,1, 0,0, 1,1, 0,0, 1,1,

посоветуйте выражение для создания последовательности:

0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,....

[bot]

С целыми частями устроит? Например так:

$1-[\frac{4+n-5[\frac{n}{5}]}{5}]$

Для $ n=1,2,3,...$ мы и получим искомое.

PS. Здесь $[x]$ - это целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее его.

[ananova]

Спасибо. Чуть-чуть кривовато, но это лучше, чем ничего

[Dan_Te]

А чего вы хотите? Какие средства использовать?
Например, можно так: $X_n=f(n)$, где $f(n)=1$ при $n\equiv 0\,(\mathrm{mod}\, 5)$ и $f(n)=0$ иначе.

А можно и так:
$X_n=\left[ |\mathrm{Re}\,e^{\frac{2\pi n}{5}}| \right]$

[bot]

Очепятка: вместо 2 надо i поставить, то есть попросту:
$[|cos\frac{\pi n}{5}|]$

[незваный гость]

Есть еще один вариант: пусть $q_k = {\rm e}^ {i \frac{2 \pi k}{p}}: k = 0...p-1$. Тогда $q_k^m$ задают базис, по которому можно разложить любую $p$-периодическую последовательность. Достаточно решить систему линейных уравнений $\sum\limits_{k=0}^{p-1} x_k q_k^m = y_m$. В нашем случае имеем: $y_m = \frac{1}{5}(1 + {\rm e}^{i \frac{2\pi m}{5}} + {\rm e}^{i \frac{4\pi m}{5}} + {\rm e}^{i \frac{6\pi m}{5}} + {\rm e}^{i \frac{8\pi m}{5}}) = $ $\frac{1 + 2\cos(\frac{2\pi m}{5}) + 2\cos(\frac{4\pi m}{5})}{5}$.

[ananova]

Не могу оценить в полной мере. Думаю, что это самый универсальный вариант, который мне подсказали.

Чем проще формула - тем лучше.

У меня два любопытства: первое - найти формулу, которая бы реализовывала периодическую последовательность (это наиболее интересующая меня часть вопроса),

и второе - создать с помощью подобных формул программный алгоритм.

Что касается программ, то они, естественно, могут реализовать любую математическую идею. А наоборот?

[bot]

ananova писал(а):

второе - создать с помощью подобных формул программный алгоритм.

Хуже этого трудно придумать. Если искать аналогию, то это, простите, операция на гландах через ... Программно это реализуется циклами, без всяких формул. Откуда же такая неистребимая тяга к формулам? Всякая формула - это по существу тоже алгоритм. Поэтому неудивительно, что попытка обойтись меньшим инструментарием порой приводит к сложностям технического порядка и, если их всё же преодолеть, то может получиться совершенно чудовищный монстр.

[незваный гость]

ananova писал(а):

У меня два любопытства:

Offtop: Любопытсво - существительное несчетное - как вода или воздух (в гуманитарный раздел меня )

ananova писал(а):

найти формулу, которая бы реализовывала периодическую последовательность

Интерполяционный тригонометрический многочлен.

ananova писал(а):

создать с помощью подобных формул программный алгоритм

Он же, со стандартным методом построения.

ananova писал(а):

Что касается программ, то они, естественно, могут реализовать любую математическую идею.

Боюсь, что это совсем не так. А вовсе даже наоборот. Многие математические построения имеют дело с принципиально неконструктивными объектами. Не говоря уж об ограничениях реальных компьютеров. Не думая о несчетных множествах (типа множества всех трансцедентных чисел).

[ananova]

Спасибо! Формулу оценил. Отличная формула!!! Вопросов пока больше нет. Думаю, что лучше не придумать.