Ряд тейора для обратной функции

[2old]

Подскажите, пожалуйста, зная ряд тейлора для функции, можно ли как-то просто получить ряд для обратной к ней?

[Otta]

Может, она какая-то конкретная, Ваша обратная функция? Потому что в общем случае ничего похожего на то, что Вы хотите, нет.

[2old]

Otta
Ну вообще моя это арктангенс, для нее смог) Просто стало интересно, может там есть какой-то общий метод или класс функций для которых хорошо получается.

[Anton_Peplov]

Маленький принц писал(а):

А что такое приручить получить?

Давайте пока без рядов Тейлора. Вот есть у Вас какая-то функция $y = f(x)$. Допустим, обратная функция $x = f^{-1}(y)$ существует. Как ее "получить" из исходной функции? Каким общим методом и для какого класса функций это хорошо получается?

[ex-math]

Погуглите ряд Бюрмана-Лагранжа. Не арктангенс конечно, но для довольно широкого класса функций работает.

[kp9r4d]

Если $f(0) = f^{-1}(0)=0$ то можно, по теореме об обратной функции, получить производную обратной как $(\frac{1}{f(x)})'$ и, следовательно, ряд как
$\sum_n x^n (\frac{1}{n!f(t)})^{(n)}|_{t=0}$
разве нет?

[Someone]

Можно посмотреть трёхтомник Г.М.Фихтенгольца (Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II), пункты 450 - 451. Но приятного там мало.

[2old]

kp9r4d
Да вроде нет.

$$g(f(x))=x \Rightarrow g'(f(x))f'(x)=1 \Rightarrow g''(f(x))(f'(x))^2+f''(x)g'((f(x))=0\Rightarrow g''(y)=\frac{-f''(x)}{(f'(x))^3}$$

Someone
Спасибо, посмотрю!

ex-math
Спасибо, постараюсь почитать...Правда тфкп я совсем не алоэ

Anton_Peplov
К сожалению не могу ответить на ваши вопросы

[dsge]

2old в сообщении #1034205 писал(а):

Да вроде нет.

$$g(f(x))=x \Rightarrow g'(f(x))f'(x)=1 \Rightarrow g''(f(x))(f'(x))^2+f''(x)g'((f(x))=0\Rightarrow g''(y)=\frac{-f''(x)}{(f'(x))^3}$$

$$ g'''(f(x))(f'(x))^3+g''(f(x))2(f'(x))f''(x)+f'''(x)g'((f(x))+f''(x)g''((f(x))f'(x)=0$$

$ g'''(f(x)) =-(g''(f(x))2(f'(x))f''(x)+f'''(x)g'((f(x))+f''(x)g''((f(x))f'(x))/(f'(x))^3$

$$ g^{IV}= -(g^{'''}\cdots$$

И т.д., производные высших порядков вычисляются рекуррентно, зная все производные низших порядков. Зная все производные, мы знаем ряд Тэйлора.

[kp9r4d]

Да, сглупил.