2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Любое множ-во на плоскости диаметра 1 можно покрыть шестиуго
Сообщение11.11.2007, 06:39 
Доказать, что произвольное мн-во, на плоскости, диаметром 1, можно покрыть
правильным 6-угольником, расстояние между параллельными сторонами которого - 1.

 
 
 
 
Сообщение11.11.2007, 10:40 
Может быть сначала попробовать доказать, что такое множество покрывается кругом диаметра 1? Дальше было бы просто.

Добавлено спустя 34 минуты 30 секунд:

Наверное все же не так. Такого круга может и не быть.

 
 
 
 
Сообщение11.11.2007, 20:27 
Совсем простого решения не видно, я бы делал так: возьмем наиболее удаленные точки и построим треугольник максимальной площади, опирающийся на этот отрезок(пусть он будет длины 1). Тогда наше множество лежит в области, ограниченной параллельными прямыми, первая из которых проходит через третью вершину нашего треугольника и параллельна большей стороне, а вторая находится от нее на расстоянии 1, и пересечением двух окружностей радиуса 1 с центрами в удаленных точках. Теперь нужно доказать, что такое множество всегда вкладывается в шестиугольник. Для начала посмотрите, что будет если треугольник равносторонний.

 
 
 
 
Сообщение11.11.2007, 21:31 
Аватара пользователя
Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. "Наука", Москва, 1974.

Это задача 93 в).

 
 
 
 
Сообщение13.11.2007, 16:57 
Аватара пользователя
venja писал(а):
Наверное все же не так. Такого круга может и не быть.


Контрпример в студию

 
 
 
 
Сообщение13.11.2007, 21:45 
Аватара пользователя
Рассмотрите правильный треугольник со стороной 1. Докажите, что его диаметр 1. Докажите, что он не помещается в круг диаметром 1. 8-)

P.S. См. также теорему Юнга.

 
 
 
 
Сообщение13.11.2007, 22:33 
Аватара пользователя
нг писал(а):
Рассмотрите правильный треугольник со стороной 1. Докажите, что его диаметр 1. Докажите, что он не помещается в круг диаметром 1. 8-)

P.S. См. также теорему Юнга.


Спасибо :) Вопрос снят.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group