Можно ли так задавать топологию?

[Padawan]

В связи с темой "Задание топологии ТВП" http://dxdy.ru/topic98971.html у меня возникло следующее обобщение.
Пусть $X$ -- непустое множество, и пусть для каждой точки $x\in X$ задано семейство $\mathfrak B_x=\{V_x\}$ подмножеств множества $X$, так, что выполняются условия:
1) $x\in V_x$ для любого $V_x\in \mathfrak B_x$
2) для любых $V_x^{(1)}, V_x^{(2)}\in\mathfrak B_x$ существует $V_x^{(3)}\in\mathfrak B_x$ такое, что $V^{(3)}_x\subset V_x^{(1)}\cap V_x^{(2)}$

Пусть $\mathfrak T$ -- семейство всех таких множеств $G\subset X$, что для любой точки $x\in G$ существует "окрестность" $V_x\in\mathfrak B_x$ такая, что $V_x\subset G$.
Верно ли что, $\mathfrak T$ -- топология на $X$?

Здравый смысл подсказывает, что должен найтись простой контрпример, т.к. обычно к условиям 1), 2) добавляют еще одно условие базы
3) Для любого $x\in X$ , любого $V_x\in\mathfrak B_x$ и любого $y\in V_x$ существует $V_y\in\mathfrak B_y$ такое, что $V_y\subset V_x$.
С ним да, $\mathfrak T$ -- топология на $X$, а $\bigcup\limits_{x\in X} \mathfrak B_x$ -- база этой топологии.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1033204 писал(а):

т.к. обычно к условиям 1), 2) добавляют еще одно условие базы
3) Для любого $x\in X$ , любого $V_x\in\mathfrak B_x$ и любого $y\in V_x$ существует $V_y\in\mathfrak B_y$ такое, что $V_y\subset V_x$.

Чего-то я не догоняю.
Теорема. Пусть есть пространство-носитель $X$ и задана такая система его подмножеств $\Sigma$, что:
1. $\forall x \in X \ \exists B \in \Sigma \ x \in B$
2. $\forall B_1, B_2 \in \Sigma \ \forall x \in B_1\cap B_2 \ \exists B_3 \in \Sigma \ B_3 \subset B_1\cap B_2 \ x \in B_3$.
Тогда, и только тогда, $\Sigma$ является базой некоторой топологии на $X$.

Где тут Ваше еще одно условие?

[GDTD]

Padawan в сообщении #1033204 писал(а):

Верно ли что, $\mathfrak T$ -- топология на $X$?

Если есть $G_1,G_2\in\mathfrak T$ и $x\in G_1\cap G_2$, то $x\in V_x^{(1)}\subset G_1$, $x\in V_x^{(2)}\subset G_2$. Согласно пункту 2), $x\in V_x^{(3)}\subset V_x^{(1)}\cap V_x^{(2)}\subset G_1\cap G_2$. То есть $G_1\cap G_2\in\mathfrak T$. Объединение любого семейства из $\mathfrak T$, очевидно, лежит в $\mathfrak T$. Вроде как аксиомы топологии выполнены.

[Someone]

Padawan в сообщении #1033204 писал(а):

3) Для любого $x\in X$ , любого $V_x\in\mathfrak B_x$ и любого $y\in V_x$ существует $V_y\in\mathfrak B_y$ такое, что $V_y\subset V_x$.

Собственно, это условие означает, что элементы $\mathfrak B_x$ являются открытыми множествами. А без этого условия получается не база, а сеть.

[Padawan]

Someone
Пусть не база. Получится ли топология?
Anton_Peplov
У вас в теореме во втором условии $x\in B_1\cap B_2$ любой, а сами $B$ ни к какой точке не привязаны. У меня же каждая $V_x$ привязана к конкретной точке $x$.

[Padawan]

GDTD в сообщении #1033224 писал(а):

Если есть $G_1,G_2\in\mathfrak T$ и $x\in G_1\cap G_2$, то $x\in V_x^{(1)}\subset G_1$, $x\in V_x^{(2)}\subset G_2$. Согласно пункту 2), $x\in V_x^{(3)}\subset V_x^{(1)}\cap V_x^{(2)}\subset G_1\cap G_2$. То есть $G_1\cap G_2\in\mathfrak T$. Объединение любого семейства из $\mathfrak T$, очевидно, лежит в $\mathfrak T$. Вроде как аксиомы топологии выполнены.

Да, всё верно.

Интересно, какая будет база у такой топологии?

Рассмотрим пример: $X=\mathbb R^2$, $V_{(x,y)}^{(\varepsilon)}=\{x\}\times (y-\varepsilon, y+\varepsilon)\cup (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times\{y\}$. То есть это крест из двух интервалов длины $2\varepsilon$ с центром в точке $(x,y)$. Описанным способом получается обычная топология плоскости, или что-то другое?

[GDTD]

Padawan в сообщении #1033322 писал(а):

Рассмотрим пример: $X=\mathbb R^2$, $V_{(x,y)}^{(\varepsilon)}=\{x\}\times (y-\varepsilon, y+\varepsilon)\cup (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times\{y\}$. То есть это крест из двух интервалов длины $2\varepsilon$ с центром в точке $(x,y)$. Описанным способом получается обычная топология плоскости, или что-то другое?

Что-то другое, если не ошибаюсь. Сначала выбросим из $\mathbb R^2$ прямые вида $y=\pm x+2n$, $n\in\mathbb Z$, а затем добавим точки вида $(k-l,k+l)$, $k,l\in\mathbb Z$. Полученное множество открыто в построенной топологии (с "крестами"), но не открыто в стандартной.