2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перпендикулярность
Сообщение01.07.2015, 11:16 


11/11/12
172
Здравствуйте! Застрял в решении:
В треугольнике $ABC$ $CC_1$ и $AA_1$ --- высоты, пересекающиеся в точке $H$. Прямая $A_1C_1$ пересекает прямую $AC$ в точке $P$, $M$ --- середина $AC$. Доказать, что $PH$ перпендикулярен $BM$.
Изображение
Пусть $MH$ пересекает $PB$ в точке $K$, тогда достаточно доказать, что $MK\perp PB$ (получается, что точка $H$ --- общий ортоцентр треугольников $PBM$ и $ABC$). Дальше нужно только доказать, что четырёхугольник $KA_1MA$ --- вписанный. Понятно, что в треугольнике $AA_1M$ $\angle MAA_1=\angle AA_1M$, а значит, остаётся проверить равенство: $\angle AKM=\angle AA_1M=\frac{\pi}{2}-\angle BCA$, а как --- не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение01.07.2015, 16:02 


01/12/11

1047
Уточните рисунок. Нет отрезка $PH$. Вы не используете окружность в доказательстве, уберите её.

Если вы докажете, что точка $H$ - общий ортоцентр, то задача решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение01.07.2015, 17:00 


11/11/12
172
Skeptic в сообщении #1032721 писал(а):
Уточните рисунок. Нет отрезка $PH$.

Вместо него я провёл $MH$.
Skeptic в сообщении #1032721 писал(а):
Вы не используете окружность в доказательстве, уберите её.

Как же я не использую? Я как раз-таки хочу показать, что точки $K,\, A_1,\, M,\, A$ лежат на одной окружности (см. моё предыдущее сообщение).
Skeptic в сообщении #1032721 писал(а):
Если вы докажете, что точка $H$ - общий ортоцентр, то задача решена.

Этим я и занимаюсь. :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 10:47 


11/03/08
473
Петропавловск, Казахстан
Мне кажется, что эта задача нудно, но неумолимо решается методом координат. Выберем систему координат так: $B_1$ - начало координат; ось $Ox$ направим по $AC$; ось $Oy$ - по $BB_1$. Тогда $A(a,0),C(c,0),B(0,h),B_{1}(0,0)$. У меня координаты ортоцентра получились такие:$H(0,-\frac{ac}{h})$. Надо найти координаты точки $P$ и доказать, что $(\overrightarrow{PH},\overrightarrow{BM})=0$
Я "руками" нашел координаты точки $P$, но, видимо, где-то ошибся, а дерайв сломался.
Если еще интересно, можем вечером сверить уравнения прямых....

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 15:29 


11/03/08
473
Петропавловск, Казахстан
Нашел ошибку и все получилось. Руками! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6093
BVR
Это радует! Насколько объёмными получились выкладки? в пределах разумного?

И у меня к Вам одна просьба -- проверьте, пжл, что Вы не привязываете решение к конкретному рисунку, а то ведь этот ракурс может оказаться намного проще, чем треугольник с тупым углом при вершине $A$, например. В равнобедренном и прямоугольном случае утверждение тоже справедливо в некотором смысле, что намекает на возможность подумать в проективном направлении (но я это пока не умею, признаюсь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 16:20 


01/12/11

1047
Построим окружность на отрезке $BH$ как на диаметре. Построенная окружность проходит через ортоцентр $H$ исходного треугольника $ABC$, а стороны треугольника $PBM$ пересекает в основании высот из вершин $P$ и $M$. Следовательно, точка $H$ будет ортоцентром и треугольника $PBM$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6093
Skeptic
Распишите, пожалуйста, своё решение подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 18:35 


11/03/08
473
Петропавловск, Казахстан
grizzly в сообщении #1034678 писал(а):
BVR
Это радует! Насколько объёмными получились выкладки? в пределах разумного?

И у меня к Вам одна просьба -- проверьте, пжл, что Вы не привязываете решение к конкретному рисунку, а то ведь этот ракурс может оказаться намного проще, чем треугольник с тупым углом при вершине $A$, например. В равнобедренном и прямоугольном случае утверждение тоже справедливо в некотором смысле, что намекает на возможность подумать в проективном направлении (но я это пока не умею, признаюсь).

Не. Почти не привязывается. Исключение - случай равнобедренного треугольника, когда точки $P$ нету. Причем, при аналитическом решении неважно - лежит ли $B_{1}$ между $A$ и $C$ или не лежит. Главное, что $h>0$ и $a$ не равно $c$

-- Ср июл 08, 2015 21:51:43 --

Там выражения получаются большие, но если до последнего не раскрывать скобки, то вполне терпимо. Вот какие получаются координаты точек $A_{1}$ и $C_{1}$:
$A_{1}\left (\frac{c(ac+h^{2})}{c^{2}+h^{2}},\frac{hc(c-a)}{c^{2}+h^{2}}  \right )$
$C_{1}\left (\frac{a(ac+h^{2})}{a^{2}+h^{2}},\frac{ah(c-a)}{-(a^{2}+h^{2})}  \right )$
Я обозначил большими буквами координаты этих точек и уравнение $A_{1}C_{1}$ писал в этих больших буквах. Потом в них же нашел координаты точки $P$, выпаисал скалярное произведение, вынес общие множители, а уж потом, самую большую скобку раскрыл и она нулем оказалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 18:56 


01/12/11

1047
Построим окружность на отрезке $BH$ как на диаметре. Построенная окружность проходит через ортоцентр $H$ исходного треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ - основаниях высот треугольника $ABC$. Пересечение окружности со отрезками $BP$ и $PM$ в точках $K$ и $P_1$ определит основания высот в треугольнике, образованном отрезками $BP$ и $PM$. Высота $BB_1$ - общая для треугольников $ABC$ и $PBM$. Таким образом, точка $H$ является общим ортоцентром треугольников $ABC$ и $PBM$, а отрезок $PP_1$ - перпендикулярен стороне $BM$. ЧТД.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 18:57 


11/03/08
473
Петропавловск, Казахстан
Насчет проективного подхода - не знаю. Там же высоты....

-- Ср июл 08, 2015 21:59:54 --

Skeptic
Эта окружность с $PM$ не пересекается. Может $BM$?

-- Ср июл 08, 2015 22:04:30 --

Может у Вас чертеж специфический? Почему точки $M, H, K$ окажутся на одной прямой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение08.07.2015, 19:13 
Заслуженный участник


12/09/10
1526
Skeptic в сообщении #1034748 писал(а):
Пересечение окружности со отрезками $BP$ и $PM$ в точках $K$ и $P_1$ определит основания высот в треугольнике, образованном отрезками $BP$ и $PM$.

У вас $K$ по построению отлично от предложенного ТС. ТС определял $K$ как точку пересечения $MH$ и $PB$ и пытался доказать, что $MK \bot PB$. Вы же наоборот, строите сперва перпендикуляр $KH$. Ну ок. Докажите только, что прямая $KH$ через $M$ проходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перпендикулярность
Сообщение10.07.2015, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6093
Оставлю здесь альтернативный рисунок. Может ещё вернёмся к этой задаче. Рисунок нарисован на глаз и заметно криво (переделывать лень), поэтому некоторые пересечения удобно считать случайными, пока не доказано обратное. Но общее представление он даёт.

Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group