Производная от определителя

[vlad_light]

Как взять производную

$$\nabla _{\mathbf x}\det (\mathbf A^\top \operatorname{diag}(\mathbf x)\mathbf A)$$

где $\mathbf A$ -- прямоугольная матрица, $\mathbf x$ -- вектор?

[Brukvalub]

Для начала, объясните, какой смысл имеет символ "набла" с нижним индексом-вектором?

[vlad_light]

(Оффтоп)

Занудство

Это типа я хочу получить в итоге вектор, который состоит из частных производных отой функции по компонентам вектора, который в индексе.

[Brukvalub]

vlad_light в сообщении #1032583 писал(а):

Это типа я хочу получить в итоге вектор, который состоит из частных производных отой функции по компонентам вектора, который в индексе.

Что такое "частная производная по компоненте вектора"?

[vlad_light]

Это $f:R^n\to R, \frac{\partial f}{\partial x_i}$

[Xaositect]

Да берете и дифференцируете. Определитель произведения равен произведению определителей.

[ex-math]

Xaositect
Матрица $A $ не квадратная.

А в лоб не пробовали? Произведение таких матриц устроено несложно, определитель можно построчно продифференцировать (будет сумма определителей).

[Oleg Zubelevich]

а ведь формула производной определителя хорошо просматривается из сдедующего факта $(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(a_1,\ldots, a_n)=\mathrm{det}\,(a_i^j),\quad a_i(t)=(a_i^1(t),\ldots, a_i^n(t))^T=a_i^k(t)e_k$ Все тоже правило Лейбница

$$\frac{d}{dt}(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(a_1,\ldots, a_n)=(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(\dot a_1,\ldots, a_n)+(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(a_1,\dot a_2,\ldots, a_n)+...$$

[Xaositect]

ex-math в сообщении #1032597 писал(а):

Матрица $A $ не квадратная.

Ой, извиняюсь. Тогда да, проще общую формулу, определитель полилинеен по строкам или столбцам.

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #1032598 писал(а):

а ведь формула производной определителя хорошо просматривается из сдедующего факта $(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(a_1,\ldots, a_n)=\mathrm{det}\,(a_i^j),\quad a_i(t)=(a_i^1(t),\ldots, a_i^n(t))^T=a_i^k(t)e_k$ Все тоже правило Лейбница

$$\frac{d}{dt}(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(a_1,\ldots, a_n)=(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(\dot a_1,\ldots, a_n)+(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(a_1,\dot a_2,\ldots, a_n)+...$$

Во дает! Производную определителя знает каждый первокурсник мехмата - это упражнение 987 из задачника Демидовича, разбираемое на семинарах где-то в начале ноября на 1-м курсе.

[Oleg Zubelevich]

Да, вот можно помнить страницу из Демидовича, а можно помнить, что определитель -- полилинейная функция. Это два очень разных подхода к педагогике

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #1032605 писал(а):

Да, вот можно помнить страницу из Демидовича, а можно помнить, что определитель -- полилинейная функция. Это два очень разных подхода к педагогике

Так это упражнение и решается применением полилинейности, но зачем тащить внешнюю алгебру куда попало? Для пущей учености?

[Oleg Zubelevich]

ну напишите вместо $(e^1\wedge\ldots \wedge e^n)(a_1,\ldots, a_n)$ формулу $f(a_1,\ldots, a_n)$, тыкните пальцем в $f$ и скажите "полилинейная". делоф-то

[vlad_light]

Brukvalub, так я так и не понял, что я не так написал?
Всем спасибо, вот ещё есть такая штука, если вдруг кому интересно.

[Brukvalub]

vlad_light в сообщении #1032616 писал(а):

Brukvalub, так я так и не понял, что я не так написал?
Всем спасибо, вот ещё есть такая штука, если вдруг кому интересно.

Я так и не понял из ваших ответов выше, что такое "частная производная по компоненте вектора". Что такое просто "частная производная" я знаю, а вот она же, но "по компоненте вектора" - это для меня непостижимо!