Вопрос аксиоматики

[artfin]

Pphantom, а можете привести пример наблюдения/эксперимента, который показывает эту пропорциональность гравитационной массы и инертной массы?
ewert, можете поподробнее рассказать? Не очень понимаю как из равенства отношений квадратов периодов и кубов длин больших полуосей следует Ваше утверждение...

[Munin]

Pavia в сообщении #1031880 писал(а):

PS. Полужирное равно в TeXtE не набирается.

Набирается: ${=}\boldsymbol{=}\rotatebox[c]{-90}{\(\pmb{\rotatebox[c]{90}{\(=\)}}\)}.$

artfin в сообщении #1031863 писал(а):

А такой вопрос (он мне показался дурацким, не понял почему его нельзя обойти постулированием)

На самом деле, поймите очень простую вещь. Одну и ту же систему утверждений можно построить на разных аксиоматиках. Например, есть три утверждения $A,B,C.$ Можно сделать $A,B$ аксиомами, и тогда вывести из них $C$ как теорему; можно иначе, сделать $A,C$ аксиомами, и вывести из них уже $B$ как теорему, и можно, наконец, сделать $B,C$ аксиомами, и вывести из них $A.$ Разницы тут никакой нет, и развлечение это не несёт никакого глубокого смысла.

Например (допустим, что мы со 2-м законом Ньютона разобрались), можно постулировать, что масса инертная равна массе гравитационной. А можно постулировать, что все тела в поле тяжести падают с одинаковым ускорением. Это одно и то же, потому что из первого выводимо второе, а из второго первое.

[artfin]

Munin, да с аксиомами все понятно=) Только вот покажите, как из того, что тела падают с одинаковым ускорением, следует равенство гравитационных масс?)

[Pphantom]

artfin в сообщении #1031905 писал(а):

а можете привести пример наблюдения/эксперимента, который показывает эту пропорциональность гравитационной массы и инертной массы?

В общем-то ewert уже привел пример. Сюда же можно добавить факт, установленный еще Галилеем: все тела в гравитационном поле ускоряются одинаково вне зависимости от их массы.

[artfin]

$ F = \frac{kM'm'}{R^2}= mg$
Затем варьируем $k$ таким образом, чтобы $\frac{kM'}{R^2} = g$?

[ewert]

artfin в сообщении #1031913 писал(а):

Затем варьируем $k$ таким образом, чтобы $\frac{kM'}{R^2} = g$?

Не таким. А таким, чтобы штрихов не было.

[artfin]

То есть, $\frac{kM'm'}{R^2} = $$\frac{GMm}{R^2}$?

[Red_Herring]

Pavia в сообщении #1031880 писал(а):

PS. Полужирное равно в TeXtE не набирается.

Набирается: слева простое, справа и в центре полужирные (через \pmb и \boldsymbol) $= \ \boldsymbol{=} \ \pmb{=}$

[artfin]

А такой вопрос, в учебнике того же Леви-Чивита говорится, что рассматриваются силы, которые зависят от $\vec{r}, \dot{\vec{r}}, t$, исключительно из тех соображений, что так устроено большинство природных сил. Однако, где-то я видел некое рассуждение, в котором доказывалась невозможность зависимость классической силы от старших производных.
(Да, я слышал о силах, которые зависят от более старших производных - например, лучистое или радиационное трение. Вероятно, этот вопрос имеет отношение к принципу детерминизма Ньютона/Лагранжа.)

[Munin]

На самом деле, это просто факт природы. Удивительный.

Более того. Ещё интереснее он оказывается в теории поля. Оказывается, полевые лагранжианы тоже имеют производные не выше первой. (Члены со второй типа $\varphi\partial\partial\varphi$ перебрасываются в вид $(\partial\varphi)(\partial\varphi).$) И вроде, это даже требуется квантовой теорией поля. Впрочем, тут нет ясности: то же самое требование запрещает существовать гравитации :-)

[ura_sim]

Pphantom в сообщении #1031895 писал(а):

то другого ответа, кроме как "такова природа вещей", не дать.

Но почему нельзя, хотя бы предположить, что гравитационной массы в природе вещей просто нет. В случае когда всё ускоренно расширяется достаточно инерционной массы и мнимых сил инерции этого ускоренного расширения.

[Munin]

ura_sim в сообщении #1032144 писал(а):

Но почему нельзя, хотя бы предположить, что гравитационной массы в природе вещей просто нет.

Потому что в природе вещей вообще ни одного понятия физиков нет. Понятие гравитационной массы вводится в описании природы вещей.

ura_sim в сообщении #1032144 писал(а):

В случае когда всё ускоренно расширяется достаточно инерционной массы и мнимых сил инерции этого ускоренного расширения.

А это бред, про который вам говорили уже неоднократно, что это бред.

[Slav-27]

artfin в сообщении #1031905 писал(а):

а можете привести пример наблюдения/эксперимента, который показывает эту пропорциональность гравитационной массы и инертной массы?

Таких экспериментов провели много.

Еще в 1890 году это сделал Этвёш. Суть эксперимента Этвёша вот какая:

Подвесим на нитке к потолку легкое прямое коромысло, а к концам коромысла - тела, одинаковые по массе (инертной), но сделанные из разных материалов. Мы имеем в виду определить, отличается ли сила, с которой тела притягиваются к Земле.

Отрегулируем коромысло так, чтобы оно в состоянии равновесия было параллельно плоскости горизонта и направлено по линии восток-запад. На каждое из подвешенных тел действует, во-первых, сила притяжения Земли $\vec{F}_\text{тяж}=M\vec{g},$ пропорциональная "гравитационной массе" (здесь $M$ - гравитационная масса тела, $\vec{g}$ - вектор ускорения свободного падения, направленный к центру Земли), во-вторых, центробежная сила $\vec{F}_\text{цб}=m\omega^2R\cos{\varphi}\cdot\vec{n},$ возникающая от вращения Земли и пропорциональная инертной массе ($m$ - инертная масса тела, $\omega$ - угловая скорость вращения земли, $R$ - ее радиус, $\varphi$ - угловое расстояние до экватора (географическая широта в Северном полушарии), $\vec{n}$ - единичный вектор, отложенный от тела перпендикулярно окружности постоянной широты $\varphi$ в плоскости этой окружности).

Если гравитационные массы наших тел различны, то горизонтальные составляющие силы $\vec{F}_\text{тяж}+\vec{F}_\text{цб}$ различны для этих тел, следовательно, коромысло поворачивается, закручивая нить, на которой оно висит. (Вертикальные же компоненты мы уравняли, когда добились горизонтального положения коромысла в состоянии равновесия.) Таким образом, в положении равновесия нить, на которой висит коромысло, закручена. Повернем теперь всю конструкцию на $180^\circ$ в горизонтальной плоскости. Закручивающий момент, обусловленный силами $\vec{F}_\text{тяж}+\vec{F}_\text{цб}$, станет противоположным, а момент, создаваемый закрутившейся нитью, не меняется (ибо нить закручена совершенно так же, как раньше).

Поэтому после поворота на $180^\circ$ коромысло отклонится от направления восток-запад, когда мы отпустим его. Измеряя угол, на который оно отклонилось, можно вычислить отношение $\frac{M_1}{m_1}:\frac{M_2}{m_2}$ (где разными индексами отмечены гравитационная и инертная масса одного и другого тела). Эксперимент Этвёша показал, что это отношение равно $1$ с точностью $10^{-8}$ для всех веществ, которые он исследовал.

Потом эту точность еще улучшали. Например, в 1960-х годах Ролл, Кротков и Дикке установили, что это отношение для золота и алюминия равно $1$ с точностью $10^{-11}.$ (Они измеряли ускорение, приобретаемое телами под действием силы притяжения к Солнцу, которая меняется с периодом в сутки.)

Об эксперименте Этвёша можно подробнее почитать в книге
Вебер. Общая теория относительности и гравитационные волны (в самом начале).
Об эксперименте Ролла - Кроткова - Дикке и некоторых других экспериментах:
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. Т. 1, § 1.3.

[Munin]

Иваненко, Сарданашвили. Гравитация.
пишут, что Дикке достиг $9\cdot 10^{-11}$ (это на порядок больше, чем вы сказали), а Брагинский и Панов - $0{,}9\cdot 10^{-12}.$ Впрочем, это цифры 1985 года.

[artfin]

Однако какой интересный вопрос с гравитационной и инертной массами)
После сдачи экзамена по термеху пришло осознание, что мои знания отвратительны и, как минимум, надо решать задачи, чтобы теория укладывалась в лучшей степени, и в принципе знания имели некоторую обретаемую форму.
Можете посоветовать какие-нибудь задачники (для начинающих ), в которых помимо самих задачи были бы хорошо разобраны примеры (чтобы действительно можно было использовать для самостоятельного изучения, а не только в присутствии опытного преподавателя, разъясняющего все моменты)?
Или я прошу чересчур много?