Формулы Байеса

[Hsad]

В трех цехах завода производят одинаковые детали, которые потом поступают на общий склад. Производительность первого цеха в два раза меньше чем производительность второго цеха и в три раза больше чем производительность третьего. Вероятность того, что в первом цехе будет произведена бракованная деталь составляет 10%, во втором - 5%, в третьем - 2%. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она выпущена в первом цеху.

Решение:
$3x$ - производительность 1 цеха
$6x$ - производительность 2 цеха
$x$ - производительность 3 цеха

$6x+3x+x=1$
$10x=1$
$x=\frac {1} {10}$
$p_1=3x=\frac {3}{10}$ - вероятность того, что извлеченная деталь выпущена в 1 цехе
$p_2=6x=\frac {6}{10}$ - вероятность того, что извлеченная деталь выпущена во 2 цехе
$p_3=x=\frac {1}{10}$ - вероятность того, что извлеченная деталь выпущена в 3 цехе

$\tilde{p_1}=\frac {10}{100}$ - вероятность того, что выпущенная на первом цехе деталь бракованная
$\tilde{p_2}=\frac {5}{100}$ - вероятность того, что выпущенная на втором цехе деталь бракованная
$\tilde{p_3}=\frac {2}{100}$ - вероятность того, что выпущенная на третьем цехе деталь бракованная
По формуле полной вероятности:
$p=p_1\tilde{p_1}+p_2\tilde{p_2}+p_3\tilde{p_3}=\frac {3}{10}\frac{1}{10}+\frac{6}{10}\frac{1}{20}+\frac{1}{10}\frac{1}{50}=\frac {31}{500}$ - вероятность того, что извлеченная наугад деталь бракованная.
$\dot{p_1}=\frac{\tilde{p_1}{p_1}}{p}=\frac{\frac {3}{100}}{\frac{31}{500}}=\frac {15}{31}$
Вероятность, что извлеченная наугад бракованная деталь была произведена в первом цехе составляет $\frac {15}{31}$
Не слишком ли большая получилась вероятность или все в порядке?

[ewert]

Hsad в сообщении #1031797 писал(а):

Не слишком ли большая получилась вероятность или все в порядке?

Ну, первый цех даёт лишь треть деталей, но зато и процент брака у него гораздо выше. Так что почему бы и не половина, вполне правдоподобно.

[grizzly]

Hsad
В таких задачах для самоконтроля полезно бывает сделать прикидку в уме: взять достаточно большое число и посмотреть расклады. Если выпустить 1000 деталей, то все прикидки в уме делаются за несколько секунд.