Непрерывность меры

[winmord]

Доброго времени суток!
Необходимо показать, что из непрерывности любой невозрастающей последовательности $A_{n}$ из кольца $\mathcal{R} $, такой что $\bigcap\limits_{n=1}^{ \infty } A_{n} \in \mathcal{R} $, из её непрерывности (т.е. $\mu (\bigcap\limits_{n}A_{n})=\lim_{n \to \infty } \mu (A_{n})$ ) следует счётная аддитивность меры.

Предполагаю, что решать надо следующим образом: пусть $B_{i} $ - непересекающиеся элементы кольца $\mathcal{R} $, $B=\coprod\limits_{k=1}^{ \infty } B_{k} $ и далее $\mu (B)=\lim_{n \to \infty } \mu (B_{n})=\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} ( \mu (B_{k} ))=\sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \mu (B_{k} ))$.

Верно ли это? И будет ли верна следующая связь: $\bigcup\limits_{k=1}^{ \infty }\coprod\limits_{i=1}^{k}B_{i}=\coprod\limits_{k=1}^{\infty}B_{k} $, $\bigcup\limits_{k=1}^{ \infty }A_{k}=B $ и если да, то как это строго показать?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

winmord
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\{A_k\},\quad k=1,2,...$ -- последовательность непересекающихся множеств. $X=\bigcup_k A_k$

$$B_j=X\backslash(\bigcup_{s=1}^j A_s),\quad B_{j+1}\subset B_j,\quad \mu(X)=\mu(B_j)+\mu(\bigcup_{s=1}^j A_s)=\mu(B_j)+\sum_{s=1}^j\mu(A_s)$$