Simple Alternating Series Test

[SomePupil]

We consider decreasing sequence consist of nonnegative numbers $a_n$ and corresponding series

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots \pm a_n$$

$$\lim a_n = 0$$

We should show that this series satisfies Cauchy criterion and, therefore, convergent:

$$|a_{n+1} - a_{n+2} + \dots \pm a_m| < \varepsilon$$

I found following proof in Web:

$$s_n = \sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}a_i$$

If $n \geq k$:

$$|s_n - s_k| \leq a_{k+1}$$

$$\lim a_k = 0$$

Therefore:

$$|s_n - s_k| < \varepsilon$$

provided $k$ is large.
I don't like this expression:

$$|s_n - s_k| \leq a_{k+1}$$

I know that $|s_n - s_k| = |a_{k+1} - C|$, where $C > 0$ - positive constant, but it's not the reason for above inequality because we haven't proved that $C$ can't attain very big values.

For example, if $C > 2a_{k+1}$ then $|a_{k+1} - C| > a_{k+1}$

I don't know how to prove that $C < 2a_{k+1}$

Could You give me hint, please?

[Brukvalub]

It is a mistake !

SomePupil в сообщении #1030831 писал(а):

If $n \geq k$:

$$|s_n - s_k| \leq s_{k+1}$$

Correct inequality:If $n \geq k$:

$$|s_n - s_k| \leq a_{k+1}$$

[SomePupil]

Brukvalub, Вы меня поняли! Это для меня уже достижение!
I corrected my text. Maybe, any mistakes in choosing words, in syntax?

-- 25.06.2015, 17:24 --

Я изначально это и имел ввиду. Вышла опечатка. Но вопрос остается открытым

[iifat]

Раз уж вы говорите по-русски, почему б вам не сформулировать таки вопрос? Вы хотите знать, почему

SomePupil в сообщении #1030831 писал(а):

$|s_n - s_k| \leq a_{k+1}$

тогда как правильно —

SomePupil в сообщении #1030831 писал(а):

$|s_n - s_k| = |a_{k+1} - C|$

Или же вы хотите знать, правильно ли вы перевели на английский? Если первое, попробуйте подумать над оценкой $C$. Например, возьмите последовательность $5, 4, 3, 2, 1, 0, 0,\dots$ и последите за суммами.