2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эллипсоид: нормаль и малая ось
Сообщение23.06.2015, 11:58 


23/06/15
2
Проверьте, пожалуйста, правильность хода решения.

Имеется эллипсоид, с малой осью - $c$ . Необходимо доказать, что в общем случае малая ось эллипсоида и нормаль к поверхности эллипсоида не лежат в одной плоскости.

Уравнение эллипсоида: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$.

Пусть точка $C$ лежит на поверхности эллипсоида на его малой оси. Точке $C$ соответствует вектор $\vec{C}$ с координатами $\vec{C}=(0; 0; c)$.

Вектор нормали к поверхности эллипсоида $\vec{N}$ проходит через точку $M$ на поверхности эллипсоида. Точке $M$ соответствует вектор $\vec{M}$ с координатами $\vec{M}=(x_0; y_0; z_0)$.

Вектор нормали к поверхности эллипсоида $\vec{N}$ записывается в виде $\vec{N} = (\frac{2 x_0}{a^2}; \frac{2 y_0}{b^2}; \frac{2 z_0}{c^2})$.

Нахожу смешанное произведение векторов $\vec{C}$, $\vec{M}$ и $\vec{N}$:
$\vec{C} \cdot [\vec{M} \times \vec{N}] = 2\cdot x_0\cdot y_0\cdot c\cdot (\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2})$.

Смешанное произведение в общем случае не рано нулю, поэтому вектора $\vec{C}$, $\vec{M}$ и $\vec{N}$ не лежат в одной плоскости. Т. е. в общем случае малая ось эллипсоида и нормаль к поверхности эллипсоида не лежат в одной плоскости.

Только в частных случаях $x_0 = 0$ (нормаль лежит в плоскости $YOZ$) и $y_0 = 0$ (нормаль лежит в плоскости $XOZ$) смешанное произведение равно нулю.

Для эллипсоида вращения, у которого $a=b$ смешанное произведение векторов $\vec{C}$, $\vec{M}$ и $\vec{N}$ равно нулю. Поэтому у эллипсоида вращения нормаль к его поверхности и малая полуось всегда лежат в одной плоскости.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид: нормаль и малая ось
Сообщение23.06.2015, 12:08 
Модератор


20/03/14
9268
 !  DrPilman
Не продолжайте старые темы сообщениями по другим вопросам, тем более в архивных разделах. Отделено.


Поправьте формулы, нижние индексы должны быть нижними индексами. y_0 : $y_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид: нормаль и малая ось
Сообщение23.06.2015, 12:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
DrPilman в сообщении #1029967 писал(а):
Необходимо доказать, что в общем случае малая ось эллипсоида и нормаль к поверхности эллипсоида не лежат в одной плоскости.

Слишком длинно. Достаточно того, что нормаль к эллипсу в сечении $XOY$ не проходит через его центр, т.е. что вектор $(F'_x,F'_y)$ не параллелен вектору $(x,y)$, что при $a\neq b$ тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид: нормаль и малая ось
Сообщение23.06.2015, 12:32 


23/06/15
2
Lia, спасибо! Не хотел плодить темы. Ваши замечания исправил.
ewert, спасибо! Ваше доказательство очень компактное и с глубоким физическим смыслом, что очень ценно при объяснении людям, которые забыли основы аналитической геометрии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group