Производящая функция в теории струн

[Mr.Positive]

Доброго времени суток! При чтении учебника по теории струн (Б.Цвибах "Начальный курс теории струн" 14-я глава: 14.6. Подсчет состояний) возникли трудности, а именно: с разложением производящих функций в степенные ряды:
$f_{os}(x)=\frac 1 x\prod\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {(1-x^n)^{24}}$.
$f_{os}(x)=\frac 1 x +24+324x+3200x^2+25 650x^3+176 256x^4+... $.
$f_{NS}(x)=\frac 1 {\sqrt x} \prod\limits_{n=1}^\infty \left(\frac {1+x^{n-\frac 1 2}} {1-x^n} \right)^8$.
$f_{NS}(x)=\frac 1 {\sqrt x}+8+36\sqrt x+128x+402x\sqrt x+1152x^2+... $.
$f_{R}(x)=16\prod\limits_{n=1}^\infty \left(\frac {1+x^n} {1-x^n} \right)^8$.
$f_{R}(x)=16+256x+2304x^2+15360x^3+... $.
Подскажите, пожалуйста, какими формулами нужно пользоваться, чтобы совершить данные преобразования?

[Taus]

Чтобы посчитать первые члены, можно воспользоваться правилом раскрытия скобок.

[Mr.Positive]

Каким образом?

[amon]

Если со скобками трудности, то можно воспользоваться тем, что $a=e^{\ln a}$ и рядами Тейлора.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: собственно к физике вопрос отношения не имеет, задача чисто математическая.

[Sonic86]

Mr.Positive в сообщении #1029513 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, какими формулами нужно пользоваться, чтобы совершить данные преобразования?

Отбрасываете все множители, которые не вносят вклад в низшие степени, оставшееся раскладываете в ряд Маклорена стандартно.

Mr.Positive в сообщении #1029513 писал(а):

$f_{os}(x)=\frac 1 x\prod\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {(1-x^n)^{24}}$.

А здесь внутри стоит вообще довольно известная функция.

[guryev]

Явных выражений для коэффициентов, скорее всего, нет, а рекуррентные можно попробовать получить. Вам помогут:

1. Соотношения:

$$\prod\limits_{n=1}^\infty(1-x^n)^{-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty p(n)x^n, \qquad |x|<1, $$

$$\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^n)=\prod\limits_{n=1}^\infty(1-x^{2n-1})^{-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty q(n)x^n, \qquad |x|<1,$$

где $p(n)$ - число разбиений натурального числа $n$ на ненулевые натуральные слагаемые независимо от их порядка, $q(n)$ - число разбиений натурального числа $n$ на неравные ненулевые натуральные слагаемые независимо от их порядка.

2. Формула для произведения степенных рядов.

3. Метод неопределённых коэффициентов для получения разложения в ряд решения дифференциального уравнения.

[Mr.Positive]

guryev, как степени 24 и 8 влияют на разложение?

-- 23.06.2015, 01:12 --

И ещё: как применить метод неопределенных коэффициентов, когда у нас нет дифференциального уравнения?

[Mr.Positive]

Mr.Positive в сообщении #1029871 писал(а):

guryev, как степени 24 и 8 влияют на разложение?

Отвечать не надо. До меня дошло.


Я разложил функцию:
$f(x)=\frac 1 {(1-x)^{24}}$
в ряд Маклорена:
$f(x)=1+24x+300x^2+2600x^3+17550x^4+...$.
$\frac 1 x f(x)=\frac 1 x+24+300x+2600x^2+17550x^3+...$.
За счёт каких слагаемых коэффициенты
функции $\frac 1 x f(x)$ переходят в коэффициенты функции $f_{os }(x)$?

[guryev]

Mr.Positive в сообщении #1030053 писал(а):

Я разложил функцию:
$f(x)=\frac 1 {(1-x)^{24}}$
в ряд Маклорена:
$f(x)=1+24x+300x^2+2600x^3+17550x^4+...$

Вообще-то, я имел в виду другое.

Mr.Positive в сообщении #1029871 писал(а):

guryev, как степени 24 и 8 влияют на разложение?

-- 23.06.2015, 01:12 --

И ещё: как применить метод неопределенных коэффициентов, когда у нас нет дифференциального уравнения?

Это, в сущности, один вопрос.

Суть вот в чём: пусть у нас есть разложение в степенной ряд функции $g(x)$ и задана функция $h(x)$. Нужно разложение для $h(g(x))$. Если для функции $h$ составляется простое дифференциальное уравнение, эту задачу иногда легко решить.

Например: пусть нам известно, что $g(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$. Хотим получить разложение для $f(x)=g^8(x)$. Дифференцируем по $x$:

$$f'(x)=8g^7(x) \cdot g'(x)$$

Отсюда

$$f'(x)\cdot g(x)=8f(x)\cdot g'(x)$$

Обозначим искомые коэффициенты разложения как $b_k$:

$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_k x^k$$

Подставляем и используем формулу для произведения степенных рядов:

$$\sum\limits_{i=0}^\infty b_{i+1}(i+1) x^i \cdot \sum\limits_{j=0}^\infty a_j x^j = 8 \sum\limits_{n=0}^\infty b_n x^n \cdot \sum\limits_{m=0}^\infty a_{m+1} (m+1) x^m$$

$$\sum\limits_{n=0}^\infty (x^n \cdot \sum\limits_{k=0}^n (k+1)b_{k+1}a_{n-k})=8\sum\limits_{n=0}^\infty (x^n \cdot \sum\limits_{m=0}^n a_{m+1}(m+1) b_{n-m} )$$

Приравниваем коэффициенты при равных степенях $x$, перегруппировываем, выносим, получаем:

$$b_{n+1}=\frac{1}{(n+1)a_0}(8\sum\limits_{m=0}^n a_{m+1}(m+1)b_{n-m} - \sum\limits_{k=0}^{n-1}b_{k+1}(k+1)a_{n-k})$$

Естественно, $b_0=a_0^8$.
Ещё формулу надо причесать и постараться, чтобы $a_0$ ушёл из знаменателя, но это уже детали.

[Mr.Positive]

Спасибо за помощь!