Мат ожидание числа остановок

[DFooz]

Условие:

Цитата:

На первом этаже семнадцатиэтажного общежития в лифт вошли десять человек. Предполагая, что каждый из вошедших
(независимо от остальных) может с равной вероятностью жить на любом
из шестнадцати этажей (со 2-го по 17-й), найдите математическое ожида-
ние числа остановок лифта

Не могу въехать, как н-ти вероятности кол-ва остановок на этажах. Не знаю, как вычислить G, не соображаю, какую ф-лу использовать
По идее, общая ф-ла: $P(i) ={ C_{17}^i \cdot G} / n $
$i $ - кол-во этажей
Кол-во возможных вариантов: $n = 17^{10}$
Кол-во остановок на i этажах : $C_{17}^i$ - кол-во сочетаний из 17 по i
G - кол-во вариантов распределения людей при выходе на этажах. Т.е. напр, все выходят на 2-х этажах: 3 и 5
3 5 5 5 5 5 5 5 5 и т.д
5 3 3 3 3 3 3 3 3 и т.д
3 3 5 5 5 5 5 5 5 и т.д
и т.д

[provincialka]

Хм... Пока не решала, но, может, легче рассмотреть число этажей, на которых остановок не было?

-- 20.06.2015, 23:26 --

Впрочем, проблема в том, что с.в. "остановка на $i$-ом этаже" не являются независимыми...

В этом случае иногда помогает метод индикаторов... Потому что мат. ожидание суммы величин равно сумме их мат ожиданий, даже если величины зависимы!

[venco]

1. Сколько всего вариантов?
2. Сколько вариантов с остановками на 1-ом конкретном этаже? На 1-ом любом?
3. Сколько вариантов с остановками на 2-х конкретных этажах? На 2-ух любых?
4. ...
Если не вычислять конкретное число, а оставить десятые степени как есть, то можно заметить структуру получившейся формулы. Как её дальше упростить - что-то не видно.

[2old]

Я воспользовался идеей provincialka и у меня получился странный результат.

Пусть $\varepsilon_i=1$ если лифт останавливается на $i$ этаже и $0$ иначе. Тогда $W=\sum\limits_{i=1}^{16}\varepsilon_i$ -- количество остановок лифта. $\mathbb{E}W=\sum\limits_{i=1}^{16}\mathbb{E}\varepsilon_i$

Лифт не остановится на $i$ этаже, если никому из 10 человек не нужно выходить. Вероятность этого $(\frac{15}{16})^{10}$. Тогда вероятность, что лифт остановится $1-(\frac{15}{16})^{10}$. Ну и $\mathbb{E}W=16\cdot (1-(\frac{15}{16})^{10})$
Т.е. выходит оно почти 16...

[grizzly]

2old в сообщении #1029241 писал(а):

у меня получился странный результат....
Т.е. выходит оно почти 16...

Да, с таким глазомером приходится, наверное, жить в мире парадоксов

[2old]

grizzly
согласен))) Как-то не подумал, что оно не просто меньше единицы, а там $(1-1/n)$

[Skeptic]

Количество остановок определяется количеством человек, а не этажей.

[2old]

Skeptic
да ну видно же, что в ответ входит и то и другое. Зашли как-то 1000 человек в одноэтажный дом...

[Evgenjy]

$$\frac{\sum\limits_{k=1}^{10}C_{16}^k\cdot A_{10}^k\cdot k^{10-k}\cdot k}{16^{10}}$$

Что-то вроде этого, если не ошибся.

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #1029249 писал(а):

Что-то вроде этого, если не ошибся.

Выглядит не намного проще предыдущего решения Интересно, сходятся ли ответы.

[provincialka]

2old в сообщении #1029241 писал(а):

Тогда вероятность, что лифт остановится $1-(\frac{15}{16})^{10}$. Ну и $\mathbb{E}W=16\cdot (1-(\frac{15}{16})^{10})$

Это примерно 7,61, то есть меньше 10 -- ответ допустимый! Теперь надо думать, где ошибка в рассуждениях (если есть)

[DFooz]

Да, опечатался, приношу извинения, в формулах вместо 17 дб 16.

Индикаторными легче=) provincialka, вроде у него всё правильно=)

Evgenjy, ф-ла для $G = A_{10}^k \cdot k^{10-k}$ не подходит. Всё равно интересно, какая ф-ла, буду дальше думать=)

Пример:
Пусть кол-во этажей = 3 и кол-во людей = 3
Если посчитать на пальцах=),
кол-во вариантов выхода:
на 1-м этаже = 3: $С_{3}^1 \cdot G = 3 \cdot G $. Т.о. $G = 1 $. Но $A_{3}^1 \cdot 1^{3-1} = 3$ - не попало
на 2- х = 18: $С_{3}^2 \cdot G = 3 \cdot G $. Т.о. $G = 6 $. $A_{3}^2 \cdot 2^{3-2} = 6$
на 3-х = 6: $С_{3}^3 \cdot G = 1 \cdot G $. Т.о. $G = 6 $. Но $A_{3}^3 \cdot 3^{3-3} = 1$ - не попало

имеем варианты:
1 1 1 - на 1-м этаже
1 1 2 - на 2-х этажах
1 1 3 - на 2-х этажах
1 2 1 - на 2-х этажах
1 2 2 - на 2-х этажах
1 2 3 - на 3-х этажах
1 3 1 - на 2-х этажах
1 3 2 - на 3-х этажах
1 3 3 - на 2-х этажах
2 1 1 - на 2-х этажах
2 1 2 - на 2-х этажах
2 1 3 - на 3-х этажах
2 2 1 - на 2-х этажах
2 2 2 - на 1-м этаже
2 2 3 - на 2-х этажах
2 3 1 - на 3-х этажах
2 3 2 - на 2-х этажах
2 3 3 - на 2-х этажах
3 1 1 - на 2-х этажах
3 1 2 - на 3-х этажах
3 1 3 - на 2-х этажах
3 2 1 - на 3-х этажах
3 2 2 - на 2-х этажах
3 2 3 - на 2-х этажах
3 3 1 - на 2-х этажах
3 3 2 - на 2-х этажах
3 3 3 - на 1-м этаже

[grizzly]

provincialka в сообщении #1029331 писал(а):

Теперь надо думать, где ошибка в рассуждениях (если есть)

Откуда такой пессимизм? Идея Ваша, реализация адекватная -- мне всё это сразу понравилось.

[provincialka]

grizzly
Ага! Проверила прямым подсчетом для небольших значений параметров. Вроде верно. Ура!

[Legioner93]

Те же яйца, только в профиль:
Пусть люди заходят в лифт по одному. Всего зашло $n$ людей. Каждому из них равновероятным образом нужно на этаж от 2-го до 17-го. Случайная величина $X_n$ -- количество остановок лифта, которое он сделает, когда все поедут. Случайное событие $A_n$ состоит в том, что последнему забежавшему человеку нужно на этаж, на который ещё никому из присутствующих не было нужно.

$MX_n = M\{X_n | A_n\} \cdot P\{A_n\} + M\{X_n | \bar{A_n}\} \cdot P\{\bar{A_n}\}$
$MX_n = (MX_{n-1} + 1)\cdot P\{A_n\} + MX_{n-1} \cdot P\{\bar{A_n}\}$
$MX_n = MX_{n-1} + P\{A_n\} = MX_{n-1} + \left(\frac{15}{16}\right)^{n-1}$

Дальше сумма геометрической прогрессии и получаем тот же ответ.