Прообраз открытого множества - измерим.

[kp9r4d]

Задача
Доказать, что прообраз открытого множества измеримой функции $f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ измерим.
Измеримая функция - это предел последовательности простых.
Простая функция это функция вида $f = c_1 1_{E_1} + c_2 1_{E_2} + ... + c_n 1_{E_n}$, где $c_i \in \mathbb{C}$, все $E_i$ - измеримые множества в $\mathbb{R}^d$ а $1_A$ - хар. функция множества $A$.

В вещественном случае для доказательства этого факта в значительной степени используется порядок в $\mathbb{R}$, а как быть в комплексном?

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1028818 писал(а):

Измеримая функция - это предел последовательности простых.

На самом деле измеримая функция -- это такая, у которой прообраз любого измеримого множества измерим. Ч.т.д.

[kp9r4d]

ewert
Не мне вам рассказывать, что это эквивалентные определения и в литературе можно встретить и те, и другие. Можно принять ваше определение и переформулировать задачу так: доказать функция измерима тогда и только тогда, когда является пределом последовательности простых.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1028823 писал(а):

переформулировать задачу так: доказать функция измерима тогда и только тогда, когда является пределом последовательности простых.

Тогда это уже не задача, а стандартная теорема.

В случае комплеснозначной (вообще векторнозначной) функции её измеримость равносильна измеримости по каждой компоненте.

[kp9r4d]

Это очевидно, а дальше что? Прообраз любого открытого множества, в общем случае, не выражается через прообразы функций-компонент.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1028900 писал(а):

Прообраз любого открытого множества, в общем случае, не выражается через прообразы функций-компонент.

Любого и не нужно. Достаточно прообразов окрестностей. Роль которых запросто могут играть и прямоугольники.

Это прекрасный пример того, как неудачно выбранные определения (в данном случае измеримости через предел) способно пудрить мозги.

[kp9r4d]

ewert в сообщении #1028983 писал(а):

Любого и не нужно. Достаточно прообразов окрестностей. Роль которых запросто могут играть и прямоугольники.

Точно ведь! Спасибо, очень простая идея.

ewert в сообщении #1028983 писал(а):

Это прекрасный пример того, как неудачно выбранные определения (в данном случае измеримости через предел) способно пудрить мозги.

Не вижу, при чём тут определения. Если бы дали определение "прообраз любого борелевского измерим по Лебегу", то я бы точно так же думал над эквивалентным упражнением "доказать, что измеримость комплекснозначной функции равносильна измеримости функций-компонент".