Дифуры, теория

[inky]

У меня скоро экзамен по теоретической части курса дифференциальных уравнений и с одним вопросом у меня возникли проблемы. Звучит он так "Достаточное условие бесконечной продолжаемости решений линейной системы". В сети не нашел нормального материала по этой теме. Не могли бы вы подсказать где можно почитать об этом?

[Otta]

А почему в сети? А в учебнике не пробовали смотреть? Продолжение решений. Вместо "бесконечная продолжаемость" часто говорят "неограниченная".

Для линейных систем большая часть условий основной теоремы обеспечится сама собой, и результат будет выглядеть совсем просто.

А вот чтобы где-то в книжке была готовая такая лемма, именно для линейных - не встречала.

[Oleg Zubelevich]

Лоран Шварц Анализ. том 2
Степанов Курс дифферециальных уравнений

[ewert]

Это надо искать и не в сети, и не в учебниках, а исключительно в конспекте. Поскольку решения неограниченно продолжимы вообще всегда, когда линейная система имеет хоть какой-то смысл на всей оси. Так что если ставится вопрос о достаточном условии продолжимости, то это -- специфика курса, обусловленная какими-то упрощающими ограничениями на коэффициенты.

[inky]

Otta Я поискал ответ на вопрос в нескольких учебниках, но похоже не те учебники брал. На самом деле, учебника как такового у нас нет. Преподаватель ведет лекции без всяких учебников и даже записей. Единственный учебник - сборник задач по ДУ Филиппова, задачи из которого мы решаем на семинарах.

Oleg Zubelevich спасибо.

ewert конспекты я к сожалению не веду, так как не могу одновременно писать и вникать в тему. Обычно беру конспекты у однокурсников. У них я ответа на вопрос не нашел..

[ewert]

Тогда трудно Вам помочь. Поскольку правильный ответ "всегда" -- совершенно невозможно угадать, какие упрощающие предположения относительно матрицы делал именно ваш лектор. Или же у него тоже подразумевалось "всегда", а слова про "достаточные условия" он вставил в список вопросов просто по рассеянности.

Дело в том, что стандартный способ доказательства теоремы существования и единственности -- это переход от задачи Коши к интегральному уравнению. В общем случае соответствующий интегральный оператор гарантированно является сжимающим лишь на ограниченном промежутке, поэтому и продолжимость гарантирована лишь на этот промежуток. Однако в линейном случае этот оператор оказывается вольтерровским: $y(t)=y_0+\int\limits_0^tA(s)y(s)\,ds$. У такого оператора для любого конечного промежутка весьма специфический спектр -- он состоит только из нуля, и потому теорема существования и единственности верна для любого конечного промежутка. Т.е. для всей оси. Всё, что для этого нужно -- это локальная интегрируемость матрицы $A(s)$, но она же фактически и необходима для осмысленности самой постановки задачи.

А в какую сторону можно тут накладывать дополнительные ограничения, чтобы хоть сколько-то существенно упростить доказательство -- не представляю. Ну можно, скажем, потребовать равномерной ограниченности $A(s)$ на всей оси, и тогда буковок писать придётся действительно меньше; однако общая-то логика доказательства от этого не упростится, так что это, на мой вкус, как-то уж чересчур.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #1028465 писал(а):

Однако в линейном случае этот оператор оказывается вольтерровским: $y(t)=y_0+\int\limits_0^tA(s)y(s)\,ds$. У такого оператора для любого конечного промежутка весьма специфический спектр -- он состоит только из нуля,

дичь какая. вы хоть в учебник загляните, как это обычно доказывается

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1028467 писал(а):

дичь какая.

Что оператор Вольтерра нильпотентен? -- да, действительно, дичь. Но, к сожалению, правда.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим систему диф. уравнений

$$\dot x=f(x)\qquad (*)$$

, функция $ f: U\to \mathbb{R}^m$ локально липшицева на открытом множестве $U\subset\mathbb{R}^m$.

Имеет место важная теорема.

Теорема. Решение задачи Коши $x(t),\quad x(0)=\hat x\in U$ для системы (*) либо бесконечно продолжаемо вправо, либо существует такое $T>0,$ что при $t\to T-0$ точка $x(t)$ покидает любое компактное множество $K\subset U$.

В случае линейных уравнений к этому факту еще надо добавить лемму Гронуолла-Белмана и мы получим нужную теорему о продолжаемости.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1028488 писал(а):

В случае линейных уравнений к этому факту еще надо добавить лемму Гронуолла-Белмана и мы получим нужную теорему о продолжаемости.

Да. А таблицу умножения надо выводить из теоремы Фубини. Вы сможете, я знаю.

[Oleg Zubelevich]

другая причина неадекватности использования в данном вопросе техники линейных операторов состоит в том, что на самом деле, верно более общее утверждение: если правая часть системы $\dot x=f(t,x)$ растет не быстрее линейной функции $\|f(t,x)\|\le C_1+C_2\|x\|,\quad t\in[0,T]$ то (в условиях теоремы Коши; $f$ определена на $[0,T]\times\mathbb{R}^m$) любое решение этой системы с начальным условием $x(0)$ продолжается на весь отрезок $[0,T]$. Доказывается это тоже с помощью априорных оценок.

-- Чт июн 18, 2015 16:10:31 --

Замечание. в двух моих последних постах вместо $\mathbb{R}^m$ можно брать любое банахово пространство.

[inky]

Oleg Zubelevich, ewert
Спасибо!