2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 10:29 


04/05/13
125
У меня скоро экзамен по теоретической части курса дифференциальных уравнений и с одним вопросом у меня возникли проблемы. Звучит он так "Достаточное условие бесконечной продолжаемости решений линейной системы". В сети не нашел нормального материала по этой теме. Не могли бы вы подсказать где можно почитать об этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 11:13 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А почему в сети? А в учебнике не пробовали смотреть? Продолжение решений. Вместо "бесконечная продолжаемость" часто говорят "неограниченная".

Для линейных систем большая часть условий основной теоремы обеспечится сама собой, и результат будет выглядеть совсем просто.

А вот чтобы где-то в книжке была готовая такая лемма, именно для линейных - не встречала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 11:16 


10/02/11
6786
Лоран Шварц Анализ. том 2
Степанов Курс дифферециальных уравнений

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 11:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это надо искать и не в сети, и не в учебниках, а исключительно в конспекте. Поскольку решения неограниченно продолжимы вообще всегда, когда линейная система имеет хоть какой-то смысл на всей оси. Так что если ставится вопрос о достаточном условии продолжимости, то это -- специфика курса, обусловленная какими-то упрощающими ограничениями на коэффициенты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 12:32 


04/05/13
125
Otta Я поискал ответ на вопрос в нескольких учебниках, но похоже не те учебники брал. На самом деле, учебника как такового у нас нет. Преподаватель ведет лекции без всяких учебников и даже записей. Единственный учебник - сборник задач по ДУ Филиппова, задачи из которого мы решаем на семинарах.

Oleg Zubelevich спасибо.

ewert конспекты я к сожалению не веду, так как не могу одновременно писать и вникать в тему. Обычно беру конспекты у однокурсников. У них я ответа на вопрос не нашел..

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 12:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Тогда трудно Вам помочь. Поскольку правильный ответ "всегда" -- совершенно невозможно угадать, какие упрощающие предположения относительно матрицы делал именно ваш лектор. Или же у него тоже подразумевалось "всегда", а слова про "достаточные условия" он вставил в список вопросов просто по рассеянности.

Дело в том, что стандартный способ доказательства теоремы существования и единственности -- это переход от задачи Коши к интегральному уравнению. В общем случае соответствующий интегральный оператор гарантированно является сжимающим лишь на ограниченном промежутке, поэтому и продолжимость гарантирована лишь на этот промежуток. Однако в линейном случае этот оператор оказывается вольтерровским: $y(t)=y_0+\int\limits_0^tA(s)y(s)\,ds$. У такого оператора для любого конечного промежутка весьма специфический спектр -- он состоит только из нуля, и потому теорема существования и единственности верна для любого конечного промежутка. Т.е. для всей оси. Всё, что для этого нужно -- это локальная интегрируемость матрицы $A(s)$, но она же фактически и необходима для осмысленности самой постановки задачи.

А в какую сторону можно тут накладывать дополнительные ограничения, чтобы хоть сколько-то существенно упростить доказательство -- не представляю. Ну можно, скажем, потребовать равномерной ограниченности $A(s)$ на всей оси, и тогда буковок писать придётся действительно меньше; однако общая-то логика доказательства от этого не упростится, так что это, на мой вкус, как-то уж чересчур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 12:58 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #1028465 писал(а):
Однако в линейном случае этот оператор оказывается вольтерровским: $y(t)=y_0+\int\limits_0^tA(s)y(s)\,ds$. У такого оператора для любого конечного промежутка весьма специфический спектр -- он состоит только из нуля,


дичь какая. вы хоть в учебник загляните, как это обычно доказывается

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 12:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #1028467 писал(а):
дичь какая.

Что оператор Вольтерра нильпотентен? -- да, действительно, дичь. Но, к сожалению, правда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 14:26 


10/02/11
6786
Рассмотрим систему диф. уравнений$$\dot x=f(x)\qquad (*)$$, функция $ f:  U\to \mathbb{R}^m$ локально липшицева на открытом множестве $U\subset\mathbb{R}^m$.

Имеет место важная теорема.

Теорема. Решение задачи Коши $x(t),\quad x(0)=\hat x\in U$ для системы (*) либо бесконечно продолжаемо вправо, либо существует такое $T>0,$ что при $t\to T-0$ точка $x(t)$ покидает любое компактное множество $K\subset U$.

В случае линейных уравнений к этому факту еще надо добавить лемму Гронуолла-Белмана и мы получим нужную теорему о продолжаемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 14:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #1028488 писал(а):
В случае линейных уравнений к этому факту еще надо добавить лемму Гронуолла-Белмана и мы получим нужную теорему о продолжаемости.

Да. А таблицу умножения надо выводить из теоремы Фубини. Вы сможете, я знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение18.06.2015, 16:04 


10/02/11
6786
другая причина неадекватности использования в данном вопросе техники линейных операторов состоит в том, что на самом деле, верно более общее утверждение: если правая часть системы $\dot x=f(t,x)$ растет не быстрее линейной функции $\|f(t,x)\|\le C_1+C_2\|x\|,\quad t\in[0,T]$ то (в условиях теоремы Коши; $f$ определена на $[0,T]\times\mathbb{R}^m$) любое решение этой системы с начальным условием $x(0)$ продолжается на весь отрезок $[0,T]$. Доказывается это тоже с помощью априорных оценок.

-- Чт июн 18, 2015 16:10:31 --

Замечание. в двух моих последних постах вместо $\mathbb{R}^m$ можно брать любое банахово пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры, теория
Сообщение19.06.2015, 10:20 


04/05/13
125
Oleg Zubelevich, ewert
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group