Вычислительная математика. Задача о транспонировании

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #1028224 писал(а):

Да, сингулярное. А ещё лучше, наверное, просто полярное с обрубанием хвостов.

Вполне возможно, что полярное будет лучше. Или псевдообратные.
"Существует 99 и ещё 7 способов спеть Песню Племени, и каждый по-своему хорош".
Но в любом случае это будет преобразование, зависящее от исходной матрицы и маскирующее тот факт, что если мы такое преобразование нашли, то, значит, матрицу уже транспонировали.
А вот доказать отсутствие таких C и D, что для любой матрицы заданной размерности mхn $CAD=A^T$, не могу, хотя в справедливости утверждения уверен.

[Evgenjy]

Евгений Машеров в сообщении #1028400 писал(а):

А вот доказать отсутствие таких C и D, что для любой матрицы заданной размерности mхn $CAD=A^T$, не могу, хотя в справедливости утверждения уверен.

Пусть существуют $C$ и $D$, что для любой $A$ будет $CAD=A^T$ , где размеры матриц $(n\times m)(m\times n)(n\times m)=(n\times m)$ и $n>m$. Тогда существует $B\ne A$, что $BD=AD$, т. к. имеется $m^2$ уравнений с $m\cdot n$ неизвестными. В этом случае имеем $B^T=CBD=CAD=A^T$ при $B\ne A$. Противоречие.
Смысл тут вот в чем. При первом умножении мы теряем часть информации об исходной матрице. Восстановить эту информацию нельзя, если этой информации нет в другой вспомогательной матрице.

[ewert]

Во-первых, опровергать возможность $CAD\equiv A^T$ достаточно для случая квадратных матриц (на самом деле достаточно даже для матриц два на два, но для простоты примем, что они произвольные квадратные). Во-вторых, должна сохраняться единичная матрица, т.е. $C,\;D$ должны быть взаимно обратными, т.е. это должно быть преобразование подобия. В-третьих, должна сохраняться диагональная матрица, у которой все диагональные элементы различны, т.е. это преобразование должно сохранять её собственный базис, т.е. сами $C,\;D$ должны быть диагональными. А такими матрицами невозможно транспонировать ну хоть треугольную.

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #1028682 писал(а):

Во-первых, опровергать возможность $CAD\equiv A^T$ достаточно для случая квадратных матриц (на самом деле достаточно даже для матриц два на два, но для простоты примем, что они произвольные квадратные). Во-вторых, должна сохраняться единичная матрица, т.е. $C,\;D$ должны быть взаимно обратными, т.е. это должно быть преобразование подобия. В-третьих, должна сохраняться диагональная матрица, у которой все диагональные элементы различны, т.е. это преобразование должно сохранять её собственный базис, т.е. сами $C,\;D$ должны быть диагональными. А такими матрицами невозможно транспонировать ну хоть треугольную.

[ewert]

Ещё добивка. Конечно, сингулярное или полярное или ещё чего разложения -- первое, что приходит в голову; но это лишь потому, что они на слуху. Однако они дороги. А между тем дело вообще-то сводится к представлению произвольной матрицы в виде произведения некоторой симметричной на какие-то невырожденные. Если это удаётся -- то дело уже в шляпе.

Ну так тупо методом Гаусса можно свести произвольную матрицу к просто диагональной.

Это в квадратном случае. В неквадратном же -- достаточно дополнить матрицу до квадратной нулевыми линиями и потом обрубить хвосты.

[B@R5uk]

Метод Гаусса к диагональной матрице приводит только квадратную не вырожденную. Любую другую (квадратную вырожденную или не квадратную) он приводит "не совсем" к диагональному виду.

[ewert]

B@R5uk в сообщении #1029633 писал(а):

Метод Гаусса к диагональной матрице приводит только квадратную не вырожденную.

Просто после прямого хода метода Гаусса, т.е. после получения трапециевидной матрицы, перед обратным ходом надо эту матрицу транспонировать.

[B@R5uk]

Метод Гаусса работает исключительно со строками матрицы. Подразумевается, что параллельно он преобразует столбец свободных членов или единичную матрицу (из которой получится обратная). Так что никаких транспонирований до окончания алгоритма быть не может. Или это уже будет не метод Гаусса.

[ewert]

B@R5uk в сообщении #1029921 писал(а):

Подразумевается, что параллельно он преобразует столбец свободных членов или единичную матрицу (из которой получится обратная).

Нет. Нет никаких свободных членов и единичных матриц. Метод Гаусса как таковой предназначен исключительно для приведения матрицы к треугольному (или трапециевидному, или ступенчатому) виду. А для чего такое приведение нужно -- вопрос уже сугубо следующий.

[ewert]

Тут народ подсказал ещё одно решение стартовой задачи -- менее элементарное, чем последнее, но более простое логически. Любая квадратная матрица попросту подобна своей транспонированной, т.к. это утверждение верно для жордановой клетки.