Выделено из: получение уравнений Эйнштейна

[pppppppo_98]

Nirowulf в сообщении #1025147 писал(а):

schekn
На самом деле у Ландафшица написаны вот такие слова, перед формулой (95,2):

ЛЛ-2 писал(а):

Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает.

Строго говоря, это не так. Если выразить этот член через вариацию метрики, то он имеет вид

$$\int d^4 x \sqrt{-g} \, \nabla_\lambda \left[ \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu} \right]$$

и сводится к следующему поверхностному интегралу

$$\oint dS_\lambda \, \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu}. \eqno (1)$$

Из того, что вариация поля есть нуль на поверхности, не следует, что производная от неё тоже нуль на поверхности. В этот поверхностный интеграл будет давать ненулевой вклад производная от вариации метрики вдоль вектора нормали к поверхности. Про эту ситуацию и говорится в приведённом вами отрывке из книги Иваненко.

В Ландафшице это заметено под ковёр и граничные члены просто отбрасывают. Можно ли написать такое действие в ОТО, для которого вариационный принцип будет хорошо определён?

Да, можно. Одним из вариантов является действие( параграф 93 в ЛЛ-2)

$$S=\int d^4x \sqrt{-g} \, G=\int d^4x \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \left( \Gamma^\rho_{\mu \omega}\Gamma^{\omega}_{\nu \rho}-\Gamma^\rho_{\mu \nu}\Gamma^{\rho}_{\omega \rho}\right). \eqno (2)$$

Вариация этого действия приводит к уравнениям Эйнштейна без возникновения поверхностного члена $(1).$ У действия $(2)$ один недостаток $-$ нековариантность. Поэтому Гиббонс, Хокинг и Йорк придумали одноимённый ковариантный член, который надо добавить к действию Эйнштейна-Гильберта.

$$S_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h}\, K,$$

где $h_{\mu \nu}$ это индуцированная метрика, а $K$ есть след второй основной формы поверхности. Вариация члена Гиббонса-Хокинга-Йорка в точности сокращает нежелательный поверхностный член $(1),$ оставляя поверхностный вклад, содержащий лишь саму вариацию метрики, которая равна нулю на поверхности. Таким образом, вариация суммарного действия $S_{EH}+S_{GHY}$ приводит в точности к уравнениям Эйнштейна.

Учитывая что диспут у камрада-топикстартера идет со мной и еще с г-ном Храпко отвечу....Речь идет о выводе уравнений эйнштейна (точнее несколько не так г-н Храпко опровергает принцип наименьшего действия, ну и попутно зашла речь о выводе уравнений эйнштейна). Дык вот.... поскольку речь идет о выводе уравнений в локальной области - тут же ограничиваем вариации компактом K - то есть носитель вариации целиком лежит в пределах компакта K. А сам компакт лежит в открытом множестве V с границей $\partial V$. Область V и есть та область на которой ведется вариационное вычисление. Почему так - потому что - пространство гладких функций с компактным носителем является плотным в классе функций гладких функций, а мы рассматриваем исключительно локальное уравнение (то есть в точке или небольшой области). Из этого следует что вклад Гиббонса-Хокинга-Йорка тождественно равен 0 в таком классе вариаций...

[Pphantom]

Уберите избыточное цитирование, запишите все обозначения правильно, напишите фамилию "Эйнштейн" с заглавной буквы и объясните, кто такой г-н Храпко. После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда сообщение будет возвращено.