Проверка условия Липшица

[HenryDukart]

Здравствуйте. Нужно доказать, что $f:C[0, 1] \to C[0, 1], f(x)=x^{2}(t)$ не удовлетворяет условию Липшица. Отрицание я формулирую следующим образом:
$\forall L > 0, \exists x, y \in C[0, 1] $, что $\left \| x^2(t) - y^2(t) \right \|_{C[0,1]} > L\left \| x(t) - y(t)\right \|_{C[0, 1]}$
То есть нужно подобрать функции, чтобы одно число было всегда больше другого, умноженного на любое число? Могу ли я подбирать эти функции так, чтобы левая часть неравенства была бесконечно большой величиной, а правая — ограниченной, или наоборот: левая ограничена или бесконечно большая, а правая — бесконечно малая?

[provincialka]

HenryDukart в сообщении #1026800 писал(а):

То есть нужно подобрать функции,

не забудьте, что они нужны для каждого $L$

[HenryDukart]

provincialka
Да, я так и написал, что сразу для всех $L>0$.

[provincialka]

HenryDukart
Исправила.

-- 13.06.2015, 21:07 --

Вообще фраза

HenryDukart в сообщении #1026800 писал(а):

То есть нужно подобрать функции, чтобы одно число было всегда больше другого, умноженного на любое число?

Как то не укладывается в голове... Зачем вам слова, если есть обозначения?

-- 13.06.2015, 21:11 --

Не нужно стараться подбирать $x$ и $y$ сразу для всех $L$. Для каждого -- свои!

[HenryDukart]

provincialka

По определению одна $L$ для всех $x, y$,по построению отрицания все $L$ для каких-то $x, y$. Так?

[provincialka]

Ну... У вас не очень понятно сказано... Лучше сказать, что для каждого $L$ есть свои $x,y$. Например, $x_L(t),y_L(t)$

Вы начните исследовать два неравенства! Например, в левом разность квадратов можно разложить на множители...

[Oleg Zubelevich]

HenryDukart в сообщении #1026800 писал(а):

Здравствуйте. Нужно доказать, что $f:C[0, 1] \to C[0, 1], f(x)=x^{2}(t)$ не удовлетворяет условию Липшица. О

если бы эта функция удовлетворяла условию Липшица, то отображение $\epsilon F$ было бы сжатием пространства $C[0,1]$ при малых $\epsilon>0$, а значит имело бы единственную неподвижную точку. Единственности мы не наблюдаем.

[provincialka]

Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

Ну, вы загнули! Человек с кванторами-то, похоже, не совсем дружит

[Oleg Zubelevich]

уж и пошутить нльзя

[HenryDukart]

Так как можно подобрать такие функции?

Даже не такой вопрос, а:

Цитата:

Могу ли я подбирать эти функции так, чтобы левая часть неравенства была бесконечно большой величиной, а правая — ограниченной, или наоборот: левая ограничена или бесконечно большая, а правая — бесконечно малая?

[HenryDukart]

Можно ли сделать так?

$x(t)=n, y(t)=0$. Тогда
$max_{t \in [0, 1]} \left | x^2 - y^2 \right | = max_{t \in [0, 1]} \left | (x - y)(x+y) \right |> L max_{t \in [0, 1]} \left | (x - y)\right |$
$(n-0)(n+0)>L(n-0) \Rightarrow n>L$
И $n \to +\infty$.

[provincialka]

Хм... кое-что тут есть. Но несколько логика перепутана...

Вашу запись можно принять в качестве вашего собственного анализа задачи. Но окончательное решение должно выглядеть не так! Идите "с конца", только уберите последнюю строчку, она тут совсем ни к чему.
(достаточно взять, например, $n=L+1$)

[HenryDukart]

provincialka в сообщении #1026873 писал(а):

(достаточно взять, например, $n=L+1$)

Можно. Тогда встает вопрос: могу ли я брать $x=L+1$ или эта функция не знает о том, что такое $L$?

[provincialka]

Знает! Я вам это уже говорила:

provincialka в сообщении #1026819 писал(а):

Лучше сказать, что для каждого $L$ есть свои $x,y$. Например, $x_L(t),y_L(t)$

[HenryDukart]

provincialka

Спасибо.