2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнение в частных производных - как решать?
Сообщение13.06.2015, 00:46 
Добрый день!
Есть некоторая константа $k\ne 0$ и переменные $x_1,x_2\in \mathcal{R}$, причем $x_1>0$. Надо найти такую функцию $f(x_1,x_2)$, для которой выполняется:
$$(x_1 \cos(x_2) + k x_1^2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} - \sin(x_2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} + 2 k x_1 f(x_1,x_2) = 0$$
или
$$ \sin(x_2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} -  x_1 \cos(x_2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} - 2 kx_1 =0.$$
Или показать, что такой функции не существует.
Я с уравнениями в частных производных никогда толком не работал. Подскажите, пожалуйста, как подступаться к таким задачам, куда смотреть? Умеют ли такие задачи решать пакеты символьной математики, типа Maple или Mathematica?

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных - как решать?
Сообщение13.06.2015, 01:26 
Аватара пользователя
В любом разумном учебнике УЧП есть одна из самых первых глав: уравнения первого порядка. Прочтите ее (она простая). Они по существу сводятся к системе ОДУ (в данном случае вроде бы неинтегрируемой для первого у-ния, и интегрируемой для второго).

На форуме это тоже обсуждалось многократно

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных - как решать?
Сообщение13.06.2015, 02:53 
Аватара пользователя
Первое можно привести к виду
$\partial_x(kx^2\; f+x\cos y\; f)=\partial_y(\sin y \;f)$ ,
где $x=x_1, y=x_2$.

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных - как решать?
Сообщение13.06.2015, 17:07 
Red_Herring в сообщении #1026602 писал(а):
В любом разумном учебнике УЧП есть одна из самых первых глав: уравнения первого порядка.


Хорошо, тогда такой вопрос: Подскажите, пожалуйста, какую-то хорошую книгу по УЧП, можно и на английском, которую можно найти в электронном виде и затем использовать как справочник и помощник для решения подобных задач?

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных - как решать?
Сообщение13.06.2015, 20:21 
Аватара пользователя
Например, http://www.math.toronto.edu/courses/apm346h1/20151/L2.html

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных - как решать?
Сообщение13.06.2015, 21:24 
По-моему проще всего понять содержание таких задач, тогда и метод решения вспоминать не надо будет.
Рассмотрим "урчп" $u_t(t,x)+v^k(t,x)\frac{\partial u}{\partial x^k}=0,\quad k=1,\ldots, m$. Здесь написано , что функция $u(t,x)$ является первым интегралом системы $\dot x^k=v^k(t,x)$.
Последняя система имеет $m$ независимых первых интегралов $f_1(t,x),\ldots ,f_m(t,x)$. Поэтому функция $u$ будет выражаться ччерез них: $u(t,x)=U(f_1(t,x),\ldots, f_m(t,x))$

Дальше начинаются всевозможные модификации. Например, $$u_t(t,x)+v^k(t,x,u)\frac{\partial u}{\partial x^k}+a(t,x,u)=0\qquad (*)$$
Это уравнение сводится к предыдущему если мы станем искать $u$ в неявном виде: $F(t,x,u)=0$. Откуда $u_{x^k}=-F_{x^k}/F_u,\quad u_t=-F_t/F_u.$ Подставляя эти формулы в уравнение (*) получим уже разобранное уравнение на функцию $F$.

Разумеется, все рассуждения локальные.

-- Сб июн 13, 2015 21:30:44 --

Замечание. Уравнение (*) является частным случаем уравнения Гамильтона-Якоби.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group