соотношение количества точек на плоскости

[upgrade]

надо найти какое соотношение точек получится, если заполнять плоскость их симметричными комбинациями (ячейками)

вот ячейка $1$ к $6$

$\begin{tikzpicture} \draw [very thick, red] (0,0) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,-0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,-0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0,-0.5) circle (0,03); \end{tikzpicture}$

если ею заполнять плоскость, то соотношение красных и синих точек будет стремиться к $1$ к $3$

$\begin{tikzpicture} \draw [very thick, red] (0,0) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,-0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,-0.25) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0,-0.5) circle (0,03); \draw [very thick, red] (0.5,0.75) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0,1) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (1,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (1,1) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,1.25) circle (0,03); \draw [very thick, red] (-0.5,0.75) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-1,1) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-1,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,1.25) circle (0,03); \end{tikzpicture}$

квадрат $1$ к $12$ заполняет плоскость в соотношении $1$ к $5$

$\begin{tikzpicture} \draw [very thick, red] (0,0) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,0.16) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,-0.16) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,0.16) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,-0.16) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.5,-0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.5,-0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.16,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.16,0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (0.16,-0.5) circle (0,03); \draw [very thick, blue] (-0.16,-0.5) circle (0,03); \end{tikzpicture}$

в каком соотношении будет заполняться плоскость для других симметричных ячеек, например ячейками шестиугольник $1$ к $12$ или ячейками квадрат $1$ к $8$?
решение есть только "руками" - подсчет большого количества точек на плоскости для определенного вида ячейки.

[iifat]

Как-то не очень понятно, чего именно вы хотите. Заполнить плоскость одинаковыми правильными многоугольниками можно, если это треугольники, квадраты либо шестиугольники; если посчитать точки в пределах одного многоугольника, то центральная точка (и прочие внутренние, если вам придёт фантазия их понаставить) будет подсчитана один раз, точки на сторонах — два раза, точки в вершинах — соответственно, шесть, четыре, три раза. Вот и выводите формулу. Если вы имели в виду какое-нить интересное обобщение, расскажите.

[upgrade]

iifat в сообщении #1026046 писал(а):

если посчитать точки в пределах одного многоугольника, то центральная точка (и прочие внутренние, если вам придёт фантазия их понаставить) будет подсчитана один раз, точки на сторонах — два раза, точки в вершинах — соответственно, шесть, четыре, три раза. Вот и выводите формулу.

вот! вот это и надо, спасибо.

iifat в сообщении #1026046 писал(а):

Если вы имели в виду какое-нить интересное обобщение, расскажите.

нет, просто посчитать. еще для точек в несколько рядов и с чередованиями (например для восьмиугольников еще квадраты будут), ну там все понятно (теперь).

только вот тут чего - у шестиугольников точек на сторонах нету. если шесть вершин разделить на три будет два, а заполнение дает один к трем, ну вроде технически поправимо нет, все верно в стартовом посте ошибка шестиугольник один к двум