Можно ли в явном виде проинтегрировать уравнение Ли?

[DLL]

Составим для инфинитеземальных операторов

$\xi_s (s,t,k,w) = F(s,t),$
$\xi_t (s,t,k,w) = 0,$
$\eta_k(s,t,k,w) = -k \frac{\partial F}{\partial s},$
$\eta_w(s,t,k,w) = -k \frac{\partial F}{\partial t}$

уравнение Ли

$$\frac{ds}{d \alpha} = F(s,t),$$

$$\frac{dt}{d \alpha} = 0,$$

$$\frac{dk}{d \alpha} = -k \frac{\partial F}{\partial s},$$

$$\frac{dw}{d \alpha} = -k \frac{\partial F}{\partial t}.$$

Вопрос можно ли их проинтегрировать в явном виде? С учетом того факта, что функция $F(s,t)$ произвольная (наперед заданная).
Из этого факта в частности следует, $s' = \Phi(s,t,\alpha), t' = t$, где $\Phi$ - произвольная однопараметрическая группа.

[пианист]

Навскидку:
$t=t_0$,
$\int_{s_0}^{s(\alpha)}\frac{d\sigma}{F(\sigma,t_0)}=\alpha$,
и это уже, видимо, никак не улучшишь/упростишь, а еще есть интеграл
$kF(s,t)=k_0F(s_0,t_0)$.

[DLL]

Это можно трактовать немного иначе. Например, из первых двух уравнений следует, что:
$s' = \Phi(s,t,\alpha), t' = t$, где $\Phi$ - произвольное 1-мерное однопараметрическое преобразование, гладкое зависящее от $t$. При чем $F(s,t) = \frac{\partial \Phi}{\partial \alpha} \rvert_{\alpha = 0}$.
Далее, $k' = \frac{k F(s,t)}{F(s'(\alpha),t)} = \frac{k F(s,t)}{F(\Phi(s,t,\alpha),t)}$.
То есть в этом смысле выражения для $s', t', k'$ удается найти явно через $\Phi$. Весь вопрос можно ли это сделать для $w'$?

[пианист]

Ну, понятно, что можно в виде квадратуры от выражения, куда входят $F$ со своей производной и $\Phi$.
Подозреваю, что это и все. Правда, как это доказать, и даже точно сформулировать, затрудняюсь.

[DLL]

Интересно, а выражение $F(\Phi(s,t,\alpha),t)$ можно как-то упростить?
Учитывая тот факт, что $\Phi$ образует абелеву группу по параметру $\alpha$ и $F$ - это производная от $\Phi$ по $\alpha$ в нуле...

[пианист]

В уравнении для $w$ справа $F_t$; когда пытаешься какие-то выражения составить, дифференцируя по параметру группы, как раз таки $F_t$ пропадает.
В общем, у меня не получилось. Может, еще кто-нибудь подтянется?

[DLL]

Логично, поскольку групповое преобразование фактически $t$ не затрагивает.
К сожалению да, похоже $w$ в явном виде без интегралов не удастся получить.