2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 22:34 
Аватара пользователя
Mikhail_K
Как я понимаю, для собственных интегралов достаточно просто непрерывности. А вот с несобственными надо смотреть. Проще в каждом случае индивидуально, заменить на собственный плюс остаток, остаток оценить и посмотреть, что выйдет.

 
 
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 22:36 
Аватара пользователя
ewert, скажите, пожалуйста, в каких случаях перестановка контуров бывает, а в каких не бывает принципиальной.
Интересен случай замкнутых контуров, и интересен случай контуров уходящих в бесконечность обоими концами.

 
 
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение10.06.2015, 08:21 
Аватара пользователя
Нет никакой перестановки контуров. Они вообще на разных комплексных плоскостях. Есть перемена порядка интегрирования. Если функция непрерывна (как функция двух переменных), а контуры кусочно-гладкие и конечные, то все хорошо. Если же интеграл несобственный, то надо смотреть. Можно какие-то условия сформулировать, используя равномерную сходимость или конечность интеграла от модуля, но в единой форме трудно, потому что непонятно, где и что за особенности. Потому и говорю, напишите интеграл и посмотрим.

 
 
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение10.06.2015, 08:46 
Mikhail_K в сообщении #1025431 писал(а):
ну хоть какие-нибудь теоремы, пусть не на все случаи жизни. О перестановке порядка интегрирования в повторных интегралах от комплексных функций по контурам на комплексной плоскости.

А пожалста. Интегральная теорема (и формула) Коши в многомерном случае. Нравится? Нет?

Это, конечно, больше, чем нужно, но зато полезно. :)

 
 
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение12.06.2015, 19:05 
Не вижу ничего специфического в интегралах по кривым в комплексной плоскости. Обычно предполагается, что кривая спрямляема. Тогда $\int_\Gamma f(z) dz=\int_\Gamma f(z) e^{i\alpha (z)} ds$ (интеграл первого рода, т.е. по длине дуги), где $\alpha(z)$ -- угол, который образует касательная к кривой с положительным направлением вещественной оси, он определён почти всюду на кривой. Таким, образом все сводится к интегралу по обычной положительной мере. И, например, если $\int_{\Gamma_1} |dz_1|\int_{\Gamma_2} |f(z_1,z_2)| |dz_2|<+\infty$, то по обычной теореме Фубини
$$
\int_{\Gamma_1} dz_1\int_{\Gamma_2} f(z_1,z_2) dz_2=\int_{\Gamma_2} dz_2\int_{\Gamma_1} f(z_1,z_2) dz_1
$$

Для неабсолютно сходящихся интегралов доказать перестановочность интегралов проблематично и в вещественном случае. Комплексные кривые тут ничего нового не дают. Если и дают, то только хорошее, в случае когда есть аналитичность по одной из переменных.

 
 
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение13.06.2015, 18:15 
Аватара пользователя
Padawan, большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group