Однородное в.у. с неоднородным, но сфер.симметричным н.у.

[Legioner93]

Можно ли что-то хорошее сказать про такое уравнение?
$u_tt = a^2 \Delta u$
$u |_{t=0} = f(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})$
$u_t |_{t=0} = 0$

[VanD]

Кажется, решение инвариантно относительно растяжений переменной $t$ (если оно существует единственное). Это если слева действительно $u_tt$, а не $u_{tt}$.Тогда ответ и есть $u=f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$.

Впрочем, если бы слева было $u_{tt}$, то ответ всё равно подошёл бы.

[Legioner93]

В условии $u_{tt}$ конечно же (в.у. в названии темы - это волновое уравнение)

Ваш ответ не подходит.

[svv]

Скомбинируйте из $\dfrac{h(r-at)}{r}$ и $\dfrac{h(r+at)}{r}$.
В скобках аргумент, а не множитель.

[Legioner93]

svv
Спасибо!! Как-то позабылось всё напрочь.
В общем случае это получается какая-то сферическая формула Даламбера. Как она правильно называется?

[svv]

Э.. затрудняюсь сказать.
Увидеть подобное (чуть более общее) решение можно, например, у Фейнмана в его лекциях, том 6, глава 20, параграф 4 «Сферические волны».
Вообще, в пространстве-времени с нечетным количеством пространственных измерений сферически симметричное решение волнового уравнения записывается просто. А вот с четным...