Разностный метод для 3-х мерной нелинейной системы ОДУ

[Oxxy]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, я совершенно запуталась: как получить формулы итераций для 3-х мерной нелинейной системы (обобщенной системы Чуа) используя разностный метод? Это вообще можно сделать? Есть результаты метода Рунге-Кутты+Ньютона, нужно сравнить с разностным. Какую сетку выбрать? Это же пространство, а не плоскость! Посоветуйте, пожалуйста, что-нибудь!))

[svv]

Сетка — это множество точек в некоторой области $D$ пространства $\mathbb R^n$.
Контрольный вопрос: чему равна размерность $n$ этого пространства в Вашей задаче?

(Неправильный ответ)

$n=3$

(Правильный ответ)

$n=1$

[Утундрий]

(Ещё более правильный ответ)

$n=1 \times 1 \times 1$

[Oxxy]

В моей задаче $n=3$, т к сама система трехмерная

[svv]

Oxxy, думайте. Легче всего прочитать «для трёхмерной» и сказать, что $n=3$.

Если бы речь шла о решении разностным методом, скажем, уравнения Лапласа
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$,
где $u=u(x,y,z)$, я бы без колебания с Вами согласился: там действительно сетка будет в области трёхмерного пространства.

[Someone]

Oxxy в сообщении #1025175 писал(а):

В моей задаче $n=3$, т к сама система трехмерная

Вопрос: для каких переменных строится сетка? Для независимых переменных или для искомых функций?

[Oxxy]

Необходимо найти $x(t), y(t), z(t)$

-- 09.06.2015, 21:57 --

Для зависимых, для искомых функций... Т е получается одномерная задача?

-- 09.06.2015, 22:13 --

Вот сама система:
$\dot{x}=\alpha(y-x-h(x))$
$\dot{y}=x-y+z$
$\dot{z}=-\betay+\gammaz$
Где $h(x)=m_1x+0,5(m_0-m_1)[\left\lvert x+1\right\rvert-\left\lvert x-1\right\rvert]$

-- 09.06.2015, 22:16 --

Я опечаталась в предыдущем сообщении. Вот сама система:
$\dot{x}=\alpha(y-x-h(x))$
$\dot{y}=x-y+z$
$\dot{z}=-\beta\cdot{y}+\gamma\cdot{z}$
Где $h(x)=m_1x+0,5(m_0-m_1)[\left\lvert x+1\right\rvert-\left\lvert x-1\right\rvert]$

[svv]

Oxxy в сообщении #1025422 писал(а):

Для зависимых, для искомых функций

Правильно. С точностью до наоборот. Сетка строится для независимых переменных. А у Вас такая только одна — это $t$.

Ведь:
Дифференцирование в ДУ производится по независимым переменным. А в разностных методах производные, входящие в уравнение, заменяются разностями соответствующих порядков. В разность входят значения функций при нескольких различных значениях независимых переменных (более конкретно — в нескольких соседних узлах сетки).

В простейшем случае, например, входящая в уравнение производная $\frac {dy(t)}{dt}$ заменяется на $\frac{y(t_{k+1})-y(t_{k})}{t_{k+1}-t_{k}}$, где $t_k$ и $t_{k+1}$ — значения независимой переменной в двух соседних узлах сетки.

При этом дискретной является только $t$, а $x, y, z$ в каждом узле могут принимать любые значения.