XY = лин. комбинация матриц X и Y, доказать что они коммутир

[2old]

Известно, что для двух квадратных матриц выполнено соотношение: $XY=\lambda X + \mu Y$, $\lambda,\mu$ не нулевые. Доказать, что матрицы коммутируют.

Подействовав на любой вектор из ядра $X$, устанавливаем что он лежит и в ядре $Y$. Аналогично делаем для ядра $Y$, отсюда $\ker{Y}=\ker{X}$ и $\operatorname{rank}{X}=\operatorname{rank}{Y}$. Еще образ и ядро разных операторов пересекаются только по нулевому вектору. Попробовал отсюда + неравенства для рангов сделать какой-то вывод, не получилось.

Прямой проверкой еще ясно, что собственные вектора у операторов совпадают, собственные значения разные.

На этом застрял.

[Oleg Zubelevich]

перепишем равенство в виде $X(Y-\lambda E)=\mu Y$. Заметим, что $\lambda$ не является собственным значением $Y$. (Рассуждения от противного основанные на жордановой форме $Y$). Тогда $X=\mu Y (Y-\lambda E)^{-1}$. ЧТД

[Xaositect]

Можно даже без жордановой формы, если записать $(X - \mu E)(Y - \lambda E) = \mu\lambda E$, то дальше все очевидно.

[2old]

Спасибо