Гомотопия и гомеоморфизм

[maximk]

Чем гомотопия отличается от гомеоморфизма, не могли бы вы пояснить это, просто приведя пример, когда выполняется лишь одно из этих отношений между объектами?

[provincialka]

Вот, возьмите веревку, завяжите на ней узел и скрепите концы. Такая веревка будет гомеоморфна простому веревочному кольцу, но не гомотопна ему. Потому что вы не развяжете узел, не разрезая веревку.

[Narn]

provincialka, мне, честно говоря, такое объяснение кажется не совсем верным (я привык к другой терминологии).
Во-первых, гомеоморфны бывают пространства, гомеоморфизм --- это отображение одного пространства в другое, а гомотопными бывают отображения (гомотопия --- это отображение, осуществляющее непрерывную деформацию одного отображения в другое). Для пространств вводят понятие гомотопической эквивалентности. Определение написано в русской вики (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F), на форуме вот тут проясняли: http://dxdy.ru/topic89079.html
Хрестоматийный пример: окружность и замкнутое кольцо (или полноторий) гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны.
Если пространства гомеоморфны, то они автоматически являются гомотопически эквивалентными.
То, о чем говорит provincialka, типично для теории узлов, где важно не только строение самого пространства (все узлы --- это просто окружность, не более), но и как оно вложено во что-то. Обычно, как мне кажется, говорят об изотопии узлов, а не гомотопии.

[provincialka]

Narn
Да, наверное, вы правы

[Hasek]

Цилиндр $[0,1] \times S^1$ и окружность $S^1$ гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны. Отображение $f: S^1 \rightarrow [0,1] \times S^1$ задаётся как вложение $f: S^1 \rightarrow \{0\} \times S^1 \subset [0,1] \times S^1$, а отображение $g: [0,1] \times S^1 \rightarrow S^1$ задаётся как композиция проекции цилиндра на нижнее основание $\{0\} \times S^1$ и гомеоморфизма $f^{-1}$.