Коммутативность функций

[Rybalko]

Разрабатывалась ли проблема коммутативности функций?
В частности, выявление функций, коммутирующих (при суперпозиции) с данной?..

[Brukvalub]

Да, подобные вопросы изучались, в частности, я читал много статей на эту тему, изучая итерации комплексных отображений.

[Rybalko]

Brukvalub в сообщении #1024634 писал(а):

изучая итерации комплексных отображений

Меня интересует случай функций в действительной области...

[Anton_Peplov]

Rybalko в сообщении #1024626 писал(а):

В частности, выявление функций, коммутирующих (при суперпозиции) с данной?..

Это в смысле $\forall x f(g(x)) = g(f(x))$ ?

[Rybalko]

Anton_Peplov в сообщении #1025490 писал(а):

Это в смысле $\forall x f(g(x)) = g(f(x))$ ?

Да!
Например, для прямых всё просто: коммутируют прямые одного пучка с центром на биссектрисе правого верхнего координатного угла.

[arseniiv]

Лучше бы написали что-то типа «коммутируют функции $f$ такие, что $f(x) = c(x-a) + a$ при фиксированном $a$». Прямая — это график функции, а не сама функция, и правый верхний (правильнее бы первый — оси могут быть направлены куда попало, а номера углов при этом не изменятся) координатный угол — слишком узко, потому что и левый нижний (точнее, третий) тоже сгодится.

[Red_Herring]

Если я правильно понимаю, вопрос стоит так: "Дана функция $g$. Найти функцию $f$ т.ч. $f\circ g= g \circ f$."

Чтобы оценить, насколько осмыслена эта задача без конкретного указания $g$, рассмотрите

1) $g(x)=x+1$;

2) $g(x)=-x$;


и убедитесь, что имеется очень много $f$ перестановочных с каждой (и даже с обеими)

[Rybalko]

Red_Herring в сообщении #1025506 писал(а):

имеется очень много $f$ перестановочных с каждой (и даже с обеими)

Пожалуйста, прочитайте мой пост до конца. Тогда Вы увидите, что у линейных функций проблем нет, более того -- задача решена. Попробуйте пойти дальше в направлении усложнения функций...

-- менее минуты назад --

Более того, у меня есть подозрение, что для нелинейных функций вообще нет коммутантом, кроме единичной функции и обратной, если она существует, т. е. если исходная не имеет одинаковых значений.

[Red_Herring]

Rybalko в сообщении #1025507 писал(а):

Пожалуйста, прочитайте мой пост до конца. Тогда Вы увидите, что у линейных функций проблем нет, более того -- задача решена. Попробуйте пойти дальше в направлении усложнения функций...

Разумеется, если обе функции линейные, проблема решается хорошим учеником 9го класса за 5 минут. Но даже для линейной $g$ имеется очень много нелинейных $f$, перестановочных с $g$. Примеры, которые я привел, это показывают. Если Вам хочется нелинейной $g$, то рассмотрите 3) $g(x)=|x|$.

[Rybalko]

Red_Herring в сообщении #1025506 писал(а):

1) $g(x)=x+1$;

2) $g(x)=-x$;

Но разве это не линейные функции?..

-- менее минуты назад --

Однако главное не в этих деталях...
То, что Вы привели -- это вырожденные, пограничные (назовите, как хотите) случаи. А полноценные, сложносоставленные функции -- у них, как дела в этом ключе?..

[Red_Herring]

Разумеется, приведенные мной — линейные. Но

Цитата:

и убедитесь, что имеется очень много $f$ перестановочных с каждой (и даже с обеими)

К примеру, функция $f$ перестановочная с 1) произвольно задается на $[0,1)$, а дальше распространяется однозначно. Функция $f$ перестановочная с 1) произвольно задается на $(0,\infty)$, а дальше распространяется однозначно.

С другой стороны, если Вы ищете $f$ перестановочную с $g(x)=2x$ или $g(x)=x^2$ то очень важно, насколько гладкой считаете Вы $f$.

[Rybalko]

arseniiv в сообщении #1025498 писал(а):

и левый нижний (точнее, третий) тоже сгодится.

Сие просто неверно: только в первом углу (проверяется подстановкой в формулу прямой).

[Kras]

Rybalko в сообщении #1025507 писал(а):

для нелинейных функций вообще нет коммутантом

Что такое нет коммутантом? Лично я не могу понять, что вы здесь имеете в виду.

[Nemiroff]

Brukvalub в сообщении #1024634 писал(а):

Да, подобные вопросы изучались, в частности, я читал много статей на эту тему, изучая итерации комплексных отображений.

Что-то после этого поста какая-то трава в теме пошла. Подкину результат (уже наверное даже классический результат): Permutable Rational Functions, J. Ritt
http://www.ams.org/journals/tran/1923-0 ... 1252-3.pdf

[Kras]

Nemiroff в сообщении #1025582 писал(а):

Что-то после этого поста какая-то трава в теме пошла.

А ТС не сформулировал что он хочет. Её бы в Карантин до выяснения.
Если нужна исчерпывающая классификация, то её как бы нет, а конкретных примеров можно дать целый вагон.