2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Коммутативность функций
Сообщение07.06.2015, 23:25 


07/06/15
23
Разрабатывалась ли проблема коммутативности функций?
В частности, выявление функций, коммутирующих (при суперпозиции) с данной?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение08.06.2015, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13104
Москва
Да, подобные вопросы изучались, в частности, я читал много статей на эту тему, изучая итерации комплексных отображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение08.06.2015, 00:58 


07/06/15
23
Brukvalub в сообщении #1024634 писал(а):
изучая итерации комплексных отображений

Меня интересует случай функций в действительной области...

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5848
Rybalko в сообщении #1024626 писал(а):
В частности, выявление функций, коммутирующих (при суперпозиции) с данной?..

Это в смысле $\forall x f(g(x)) = g(f(x))$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 02:38 


07/06/15
23
Anton_Peplov в сообщении #1025490 писал(а):
Это в смысле $\forall x f(g(x)) = g(f(x))$ ?

Да!
Например, для прямых всё просто: коммутируют прямые одного пучка с центром на биссектрисе правого верхнего координатного угла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24119
Уфа
Лучше бы написали что-то типа «коммутируют функции $f$ такие, что $f(x) =  c(x-a) + a$ при фиксированном $a$». Прямая — это график функции, а не сама функция, и правый верхний (правильнее бы первый — оси могут быть направлены куда попало, а номера углов при этом не изменятся) координатный угол — слишком узко, потому что и левый нижний (точнее, третий) тоже сгодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 04:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8669
Hogtown
Если я правильно понимаю, вопрос стоит так: "Дана функция $g$. Найти функцию $f$ т.ч. $f\circ g= g \circ f$."

Чтобы оценить, насколько осмыслена эта задача без конкретного указания $g$, рассмотрите

1) $g(x)=x+1$;

2) $g(x)=-x$;


и убедитесь, что имеется очень много $f$ перестановочных с каждой (и даже с обеими)

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 05:02 


07/06/15
23
Red_Herring в сообщении #1025506 писал(а):
имеется очень много $f$ перестановочных с каждой (и даже с обеими)


Пожалуйста, прочитайте мой пост до конца. Тогда Вы увидите, что у линейных функций проблем нет, более того -- задача решена. Попробуйте пойти дальше в направлении усложнения функций...

-- менее минуты назад --

Более того, у меня есть подозрение, что для нелинейных функций вообще нет коммутантом, кроме единичной функции и обратной, если она существует, т. е. если исходная не имеет одинаковых значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 05:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8669
Hogtown
Rybalko в сообщении #1025507 писал(а):
Пожалуйста, прочитайте мой пост до конца. Тогда Вы увидите, что у линейных функций проблем нет, более того -- задача решена. Попробуйте пойти дальше в направлении усложнения функций...

Разумеется, если обе функции линейные, проблема решается хорошим учеником 9го класса за 5 минут. Но даже для линейной $g$ имеется очень много нелинейных $f$, перестановочных с $g$. Примеры, которые я привел, это показывают. Если Вам хочется нелинейной $g$, то рассмотрите 3) $g(x)=|x|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 06:10 


07/06/15
23
Red_Herring в сообщении #1025506 писал(а):
1) $g(x)=x+1$;

2) $g(x)=-x$;

Но разве это не линейные функции?..

-- менее минуты назад --

Однако главное не в этих деталях...
То, что Вы привели -- это вырожденные, пограничные (назовите, как хотите) случаи. А полноценные, сложносоставленные функции -- у них, как дела в этом ключе?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 06:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8669
Hogtown
Разумеется, приведенные мной — линейные. Но
Цитата:
и убедитесь, что имеется очень много $f$ перестановочных с каждой (и даже с обеими)


К примеру, функция $f$ перестановочная с 1) произвольно задается на $[0,1)$, а дальше распространяется однозначно. Функция $f$ перестановочная с 1) произвольно задается на $(0,\infty)$, а дальше распространяется однозначно.

С другой стороны, если Вы ищете $f$ перестановочную с $g(x)=2x$ или $g(x)=x^2$ то очень важно, насколько гладкой считаете Вы $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 06:22 


07/06/15
23
arseniiv в сообщении #1025498 писал(а):
и левый нижний (точнее, третий) тоже сгодится.

Сие просто неверно: только в первом углу (проверяется подстановкой в формулу прямой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 10:37 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Rybalko в сообщении #1025507 писал(а):
для нелинейных функций вообще нет коммутантом

Что такое нет коммутантом? Лично я не могу понять, что вы здесь имеете в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
Brukvalub в сообщении #1024634 писал(а):
Да, подобные вопросы изучались, в частности, я читал много статей на эту тему, изучая итерации комплексных отображений.
Что-то после этого поста какая-то трава в теме пошла. Подкину результат (уже наверное даже классический результат): Permutable Rational Functions, J. Ritt
http://www.ams.org/journals/tran/1923-0 ... 1252-3.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность функций
Сообщение10.06.2015, 11:49 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Nemiroff в сообщении #1025582 писал(а):
Что-то после этого поста какая-то трава в теме пошла.

А ТС не сформулировал что он хочет. Её бы в Карантин до выяснения.
Если нужна исчерпывающая классификация, то её как бы нет, а конкретных примеров можно дать целый вагон.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group