2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Все одномерные собственные подпространства совпадают
Сообщение07.06.2015, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Верно ли, что если у двух операторов все одномерные собственные подпространства совпадают, то у них совпадают и все корневые пространства одинаковой высоты и присоединенные к этим вот одномерным собственным? Строго говоря если $\lambda_A, \lambda_B$ - два собственных значения одного и того же собственного вектора $v_1$, общего для операторов $A$ и $B$. То выполняется $\operatorname{Ker}(A-\lambda_A)^k=\operatorname{Ker}(B-\lambda_B)^k$ (А это значит, что они приводимы к жордановой форме "одинакового типа" т.е. имеют одинаковый набор жордановых клеток одинакового размера, но, быть может, с.з. в некоторых жордановых клетках отличаются.)
Возникло как лемма при решении одной задачи, и я её вроде как доказал, но что-то не уверен.
Док-во такое.
Пусть у нас есть пара операторов $A,B$ и $v_1$ некоторый общий собственный вектор.
Докажем по индукции, что присоединенный вектор $v_n$ оператора $A$ высоты $n$ к нему (к $v_1$) является также присоединенным вектором оператора $B$ высоты к нему. Предположим, что для $n-1$ утверждение доказано.
$$A v_n = v_{n-1}$$
$$(A (B v_n)) = Bv_{n-1}$$
$$(A (B v_n)) = v_{n-2}
где $v_{n-1}$ и $v_{n-2}$ - некоторые векторы соответствующих высот присоединенные к $v_1$. Откуда следует, что $B v_n$ - имеет высоту $n-1$, и откуда следует, что $v_n$ - присоединенный вектор высоты $n$ для $B$. Ну конец, собственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Все одномерные собственные подпространства совпадают
Сообщение08.06.2015, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Вот что мне непонятно: если написать две разные ж.н.ф размера 4: в одной будут две клетки размера 2,а в другой - одна клетка размера 3 и одна - размера 1, а потом считать их матрицами двух операторов в таких базисах, где первый и третий векторы первого базиса совпадают соответственно с первым и четвертым векторами второго базиса, то разве это не контрпример к утверждению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Все одномерные собственные подпространства совпадают
Сообщение08.06.2015, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Мне кажется, что такой случай просто противоречивый. То есть выйдет, что либо первый и третий векторы первого базиса таки не равны первому и четвёртому второго, либо в первом или во втором базисе первый или второй оператор будут не в жордановой форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Все одномерные собственные подпространства совпадают
Сообщение08.06.2015, 02:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
kp9r4d в сообщении #1024667 писал(а):
Мне кажется, что такой случай просто противоречивый.


Вот конкретная реализация, чем она плоха?

$$
\begin{pmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}\quad \text{и} \quad\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Все одномерные собственные подпространства совпадают
Сообщение08.06.2015, 10:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
kp9r4d в сообщении #1024615 писал(а):
$$A v_n = v_{n-1}$$
$$(A (B v_n)) = Bv_{n-1}$$

Второго не понял; но, помимо формальной стороны дела, непонятно ещё и то, что в точности Вы понимаете под одномерными собственными подпространствами, раз у Вас это подпространство как минимум двумерно -- собственные числа-то в этой выкладке одинаковы.

kp9r4d в сообщении #1024615 писал(а):
Верно ли, что если у двух операторов все одномерные собственные подпространства совпадают, то у них совпадают и все корневые пространства одинаковой высоты и присоединенные к этим вот одномерным собственным?

Неверно, конечно: если взять матрицу из двух жордановых клеток одного размера, то никто не запрещает в этом базисе два собственных вектора зафиксировать, а все остальные перемешать между собой как угодно, после чего взять новый оператор с ровно той же матрицей, но в полученном базисе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Все одномерные собственные подпространства совпадают
Сообщение08.06.2015, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да, потому и казалось сомнительным. Всем ответившим спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group