2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Почему нет счётно-аддитивной универсальной меры на прямой?
Сообщение07.06.2015, 01:06 
Аватара пользователя
В википедии прочитал, что счётно-аддитивных универсальных мер не бывает.
Задумался над конкретным контрпримером для такой меры: мера Лебега-Стилтьеса для f(x) = $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \theta(x - x_n)2^{-n}$, она определена для любого подмножества $\mathbb{R}$. В качестве $\{x_n\}$ можно взять $\{n\}$. Пример пока придумать не удалось.

 
 
 
 Re: Почему нет счётно-аддитивной универсальной меры на прямой?
Сообщение07.06.2015, 01:19 
Аватара пользователя
Legioner93 в сообщении #1024238 писал(а):
Задумался над конкретным контрпримером для такой меры


Ну так она же не универсальна: существуют конгруэнтные множества разной меры.

А вообще, несуществование универсальной счётно аддитивной меры на $[0,1]$ доказывается точно так же, как строится неизмеримое множество в той же статье википедии: там на самом деле строится набор конгруэтных множеств, счётное объединение которых даёт весь отрезок, с очевидным противоречием вследствие этого.

 
 
 
 Re: Почему нет счётно-аддитивной универсальной меры на прямой?
Сообщение07.06.2015, 01:28 
Аватара пользователя
Ой, я под универсальностью понимал определенность для любого подмножества действительной оси. А это, видимо, термин.
Спасибо за пояснение.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group