Изыскания формальностей - монотонная всюду прерывная функция

[fractalon]

Существует ли такая функция $f(x)$, что:

• $f(0)$ и $f(1)$ - это конечные значения (то есть нет никаких вертикальных асимптот), к примеру $f(0)=0$, $f(1)=1$, не ограничивая общности;
• функция $f$ монотонно возрастает на $[0;1]$;
• нет ни одного отрезка, на котором функция была бы непрерывна, то есть (если я правильно прослеживаю эквивалентность этих формулировок) $\sup \limits_{x'<x} {f(x)} < \inf \limits_{x'>x} {f(x)}$ (вся суть - в том, что неравенство строгое).

Кажется, что такой функции быть не может, но доказать не получается... Мелькнула даже мысль о том, что функция возможна, но выразить чёткий алгоритм нахождения её значения по аргумента кажется мало реальным...

[ИСН]

topic77344.html

[Nemiroff]

fractalon в сообщении #1024225 писал(а):

нет ни одного отрезка, на котором функция была бы непрерывна

Цитата:

всюду прерывная функция

Что надо-то? Монотонная функция на отрезке имеет не более счётного числа точек разрыва. Могут ли они плотно заполнять отрезок — могут.

[grizzly]

fractalon
Всё же попробуйте придумать самостоятельно хоть один способ построить монотонную на отрезке функцию со всюду плотным множеством точек разрыва.ИСН познакомил Вас с красивым и в каком-то смысле простым примером, но до него сложно додуматься самому. Можно придумать другой способ, даже несколько.
Вам знакома схема построения Канторовой лестницы? Покрутите эту идею. Или можно просто накидать счётное число точек и подумать, как организовать на них ступеньки подъёма. Если что-то получится (пусть корявое, но своё), будет польза.