подскажите с интегралом

[PAV]

В справочнике есть такая формула.

$$ \int\frac{x^m\,dx}{(ax+b)^{1/2}}=\frac{2}{(2m+1)a}x^m(ax+b)^{1/2}-\frac{2mb}{(2m+1)a}\int\frac{x^{m-1}\,dx}{(ax+b)^{1/2}} $$

Не могу сообразить, какой заменой ее получить. Тривиальная приводит к том, что корень оказывается в числителе, а как получить то, что написано - не вижу. Подскажите, пожалуйста. Спасибо.

[ins-]

try to differentiate this equality and you probably will have a success.

[Brukvalub]

PAV писал(а):

В справочнике есть такая формула....

Это частный случай одного общего приёма интегрирования частного от многочлена и квадратичной иррациональности, в котором вначале интеграл преобразуется методом неопределённых коэффициентов, а потом эти коэффициенты находятся дифференцированием обеих частей. Описание этого приёма можно найти, например, во втором томе трёхтомника Фихтенгольца, да и в задачнике Демидовича он описан. Подстановка здесь ни при чём.

[Someone]

Проинтегрировать по частям, и после некоторых преобразований получится.

[PAV]

Спасибо. Мне казалось, что должен быть виден метод интегрирования по частям, в результате которого все бы решилось в одну строчку. Ладно, тогда поверим справочнику.

Добавлено спустя 3 минуты 54 секунды:

На самом деле я просто сейчас рецензирую одну статью и там возникает похожий интеграл. Стал проверять, нет ли ошибки в вычислениях. Вроде все правильно оказалось. Стал думать, стоит ли указать в рецензии, чтобы это вычисление было объяснено чуть более подробно. В итоге решил указать.

[Андрей123]

Может быть уже не надо, но просто стало интересно.

$$ \int\frac{x^m\,dx}{(ax+b)^{1/2}}=\frac{1}{a}\int\frac{ax^m\,dx}{(ax+b)^{1/2}}=\frac{1}{a}\int\frac{((ax+b)x^{m-1}-bx^{m-1})\,dx}{(ax+b)^{1/2}}= \frac{1}{a}\int\((ax+b)^{1/2}x^{m-1}\,dx-\frac{b}{a}\int\frac{x^{m-1}\,dx}{(ax+b)^{1/2}}=\frac{1}{a}((ax+b)^{1/2} \frac{x^m}{m}-\int\frac{ax^m\,dx}{2m(ax+b)^{1/2}})-\frac{b}{a}\int\frac{x^{m-1}\,dx}{(ax+b)^{1/2}}$$

Дальше понятно.

[nando85]

$ \int\frac 1 {x^3-1} dx $
пробовала раскладывать по знаменателю на 2 интеграла, но в итоге не могу вычислить $ \int\frac 1 {x^2+x+1} dx $

[Taras]

Выделите в знаменателе полный квадрат, поделите на хвост, сделайте линейную замену х и вы перейдете к табличному интегралу арктангенса.