Приведение матрицы к определенному виду

[hwmcom]

Пусть у нас имеется матрица следующего вида:

$$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) $$

При каких условиях её можно привести к такому виду:

$$ \left( \begin{array}{cc} x & y \\ -y & x \end{array}\right) $$

?

Также интересуют книги, в которых на примерах показаны приложения линейной алгебры для различных задач механики и физики.

[Xaositect]

Привести какими преобразованиями? Это важно.

[nnosipov]

hwmcom в сообщении #1023073 писал(а):

При каких условиях её можно привести к такому виду:

Да к любому можно привести, пока Вы точно не опишите, какие действия с матрицами Вы разрешаете. Что значит привести?

[hwmcom]

Матрицу необходимо привести к такому виду с помощью элементарных преобразований:
1. Перестановка местами любых двух строк матрицы;
2. Умножение любой строки матрицы на константу не равную нулю;
3. Прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу не равную нулю).

[svv]

Я сомневаюсь, что в Вашей задаче преобразования действительно должны быть такими. (Вот если бы Вы сказали: преобразованием подобия, да ещё с ортогональной преобразующей матрицей — поверил бы.)

Но если задание в самом деле таково, то достаточное условие: обе матрицы невырождены. Все Ваши преобразования не изменяют ранг матрицы. (Надо будет изменить — не сможете.)

Упражнение: докажите, что если исходная матрица невырождена, её можно такими преобразованиями привести к единичной. А все эти преобразования обратимы. Следовательно, две невырожденные матрицы можно привести друг к другу.

В третьем пункте оговорка «не равную нулю» не нужна (хотя во втором нужна). Если константа будет нулевой, преобразуемая строка просто останется той же, и ничего страшного не случится.

[hwmcom]

svv
Как тогда преобразовать невырожденную матрицу с произвольными коэ-тами

$$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) $$

к следующему виду:?

$$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) $$

[svv]

А Вы упражнение пытались сделать?

[hwmcom]

svv
Какое упражнение? Это я так, для себя.

[Brukvalub]

hwmcom в сообщении #1023108 писал(а):

svv
Как тогда преобразовать невырожденную матрицу с произвольными коэ-тами

$$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) $$

к следующему виду:?

$$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) $$

svv в сообщении #1023097 писал(а):

если исходная матрица невырождена, её можно такими преобразованиями привести к единичной. А все эти преобразования обратимы. Следовательно, две невырожденные матрицы можно привести друг к другу.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Просьба уточнить постановку задачи, конкретизировав класс допустимых преобразований, привести собственные попытки решения и указать конкретные затруднения.

Возможно, не помешало бы указать, зачем именно понадобилось приводить матрицу к указанному виду.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.