Теория вероятностей. Математическое ожидание отношения.

[Geros]

Здравствуйте.

Подскажите, пожалуйста, почему, если $\xi_n$ - независимые одинаково распределённые случайные величины, то $\mathbb{E}\frac{\xi_1+...+\xi_k}{\xi_1+...\xi_n}=\frac{k}{n}$. (E - мат. ожидание).

Про с. в. ничего больше неизвестно (существование у них самих мат. ожидания или т. п.)

Совершенно не имею представления, как это решать. Мне это непонятно ни в одном частном случае (простые с. в, две с. в. и т. д.).
Тут же нельзя просто делить... а как тогда... Непонятно.
Может, я не вижу какой-то очевидности.
Подскажите, пожалуйста.

Заранее спасибо.

[2old]

Начать наверное так можно

$$\mathbb{E}\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\xi_i}\cdot\xi_j=\operatorname{cov}\{\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\xi_i},\xi_j\}+\mathbb{E}\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\xi_i}\cdot\mathbb{E}\xi_j$$

[NSKuber]

А лучше, мне кажется, воспользоваться тем, что для любых $1\leq i,j\leq n$ в силу независимости и одинаковой распределённости имеет место:

$$\mathbb{E}\frac{\xi_i}{\xi_1+\dots+\xi_n}=\mathbb{E}\frac{\xi_j}{\xi_1+\dots+\xi_n}$$

Ну и, конечно, линейностью.

[--mS--]

2old в сообщении #1022987 писал(а):

Начать наверное так можно

Попробуйте взять $\xi_i$ с распределением Коши, и будет ясно, можно ли так начать.

[2old]

Да, нельзя