Вывод формула объема икосаэдра

[Deffe]

Увидел недавно задачку из нынешнего ЕГЭ: нужно вычислить длину ребра икосаэдра при заданном объеме. Формулу в интернете нашел $V=\frac {5}{12}(3+\sqrt 5)a^{3}$
А вот вывод не встретил. Но помнить все формулы объемов нереально, поэтому я прикинул как ее выводить - получается достаточно сложно и долго, так и не довел до конца, чувствую где-то подвох.

[ИСН]

Я как-то раз в юности взял и вывел. Да, вышло действительно столько. И да, получается достаточно сложно и долго. "Нет царских путей", they say.

-- менее минуты назад --

В любом случае, по-моему, для ЕГЭ это малореалистичный перехлёст.

[Munin]

Если помнить табличное значение $\sin 36^\circ,$ то вроде, не долго.

[Sender]

А если не помнить, то можно его вывести из соотношения $\sin 2\alpha= \sin 3 \alpha.$

[grizzly]

А здесь можно посмотреть интересный вывод основных формул для икосаэдра без тригонометрии.

[Munin]

Остроумно! Но до этого вряд ли можно додуматься на экзамене, если не знать заранее...