Норма интегрального оператора.

[Rattleflap]

Здравствуйте! Есть такой оператор:

$A: L_2 [0, 1] \rightarrow L_2 [0, 1]$
$(Ax)(t) = \int\limits_0^1 (t - s) x(s) ds$

Нужно найти норму. Ограниченность определяется так: $\exists c = c(A): ||A_x||_X \leq c ||x||_X \forall x \in X$. Наименьшее $c$ будет нормой. Или $||A|| = \sup_{||x|| = 1} ||A_x||$

Собственно $||x||_{L_2 [0,1]} = \left( \int\limits^1_0 |x(s)|^2 ds \right)^\frac{1}{2}$
$||A_x||_{L_2 [0,1]} = \left( \int\limits^1_0 |\int\limits_0^1 (t - s) x(s) ds|^2 ds \right)^\frac{1}{2}$

Теперь, видимо, нужно привести это какими-то манипуляциям к виду $||A_x|| \leq c ||x||$, но я не вижу каким образом.
Заранее спасибо за советы.

[Brukvalub]

В Гильбертовых пространствах стандартно применяют неравенство Коши-Буняковского.

[Rattleflap]

Спасибо, разобрался, всё оказалось несложно.

[ewert]

Хм. А как могут Коши с Буняковским, и даже с помощью Шварца, угадать, что норма равна $\sqrt{\frac1{12}}$ ?

(если не напутал в арифметике)

[demolishka]

$|Ax|^2 \leq \int\limits_0^1 (t-s)ds \int\limits_0^1 (t-s)x^2(s)ds$
Ну и далее, $\int\limits_0^1 (t-s)ds = t-\frac12$ и $\int\limits_0^1 (t-\frac12)(t-s)dt = \frac{1}{12}.$

[ewert]

demolishka в сообщении #1022916 писал(а):

$|Ax|^2 \leq \int\limits_0^1 (t-s)ds \int\limits_0^1 (t-s)x^2(s)ds$

Этого не может быть: правая часть зависит от какого-то загадочного тэ, да ещё и не знакоопределённа...

[demolishka]

Да, прошу прощения, из-за знакопеременности $t-s$ при фиксированном $t$, здесь такой трюк не удается. А если навесить модули, то ничего хорошего не выйдет.

[ewert]

Ну короче. Это -- оператор ранга 2, ровно так к нему и следует относиться. А тут дело облегчается ещё и тем, что он антисимметричен, так что всё сводится просто к его собственным числам.

И если поставить вопрос именно о них, то всё решается довольно быстро и на автомате. Но поставить -- придётся.