корни спец. функции

[ecartman]

Рассмотрим т.н. фукнцию Уиттекера $W_{\varkappa,\mu}(z)$ определяемую как одно из (двух независимых) решений уравнения:

$$ w''(z)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{\varkappa}{z}+\frac{1/4-\mu^2}{z^2}\right)w(z)=0. $$

Меня интересует случай когда $\varkappa\in\mathbb{R}$, а $\mu=i a$, где $i=\sqrt{-1}$ и $a\in\mathbb{R}$. Другими словами, $\varkappa$ - чисто действительное число, а $\mu$ - чисто мнимое. Можно показать, что при указанных предположениях относительно индексов функции Уиттекера она является чисто вещественной.

Рассмотрим решения $z$ уравнения $W_{\varkappa,i a}(z)=0$. В статье Л.А. Дикого "О корнях функции Уиттекера и функции Макдональда комлексного индекса" 1960 года показывается что в этом случае корней функции Уиттекера счетно много и все они расположены на лучше $\arg(z)=0$, т.е., все корни неотрицательны, и более того их концентрация растет по мере приближения к началу координат справа. В работе Дикого также показывается, что корни функции Уиттекера непрерывно зависят от ее индексов. Отсюда можно сделать вывод, что для любого $x\ge 0$, найдется $a=a(x)\in\mathbb{R}$ такое что $W_{\varkappa,i a}(x)=0$.

Меня интересует вопрос монотонности: Пусть $0\le x_1<x_2$. Рассмотрим уравнение [math]$W_{\varkappa,i a}(x)=0$ как уравнение на $a$ при фискированных $\varkappa\in\mathbb{R}$ и $x\ge0$. Пытаюсь показать что $a(x_1)<a(x_2)$.

Основная идея-использовать теорему о сравнении Штурма: если $y_1''+q(x) y_1=0$, $y_2''+Q(x)y_2=0$, и $q(x)\le Q(x)$ для всех $x\in[A,B]$, то нули $y_1(x)$ не перемежаются с нулями $y_2(x)$, и если $x'<x''$ два последовательных нуля $y_1(x)$ то между ними находится как минимум один нуль $y_2(x)$.

В случае уравнения Уиттекера роль функций $q(x)$ и $Q(x)$ играет функция

$$ q(x) = -\frac{1}{4}+\frac{\varkappa}{x}+\frac{1/4-\mu^2}{x^2} $$

которая является действительной при чисто мнимом $\mu$, и возрастает с ростом $|a|$. Достаточно ли этого?

[mihiv]

ecartman в сообщении #1022520 писал(а):

В случае уравнения Уиттекера роль функций $q(x)$ и $Q(x)$ играет функция

$$ q(x) = -\frac{1}{4}+\frac{\varkappa}{x}+\frac{1/4-\mu^2}{x^2} $$

которая является действительной при чисто мнимом $\mu$, и возрастает с ростом $|a|$. Достаточно ли этого?

Можно привести контрпример. Рассмотрим уравнение $u''+a^2u=0$. Оно имеет, в частности, такое решение: $u=\sin ax$. Нули функции $u$ равны: $x_k=\dfrac {\pi k}a$. Они убывают с ростом параметра $a, \dfrac {dx_k}{da}=-\dfrac {\pi k}{a^2}$, хотя $q(x)\equiv a^2$ возрастает.