Задача с параметром

[StaticZero]

Есть такая задача:

Цитата:

Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$ |\sin^2 x + 2 \cos x + a| = \sin^2 x + \cos x - a $$

имеет единственный корень на промежутке $ \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi \right]$.

Заменой $\cos x = u, \ -1 \leqslant u < 0$, где между $x$ и $u$ биекция, можно свести задачу к такой:

Цитата:

Найти все значения $a$, при каждом из которых в области $-1 \leqslant u < 0$ существует единственное решение уравнения

$$ |-u^2 + 2u + 1 + a| = -u^2 + u + 1 - a. $$

Область существования решений:
$-u^2 + u + 1 - a \geqslant 0$
$ D = 5 - 4a \geqslant 0, \quad a \leqslant \dfrac{5}{4} $ (в этом случае решения этого неравенства существуют).

Пусть $2 + a \geqslant (u - 1)^2$, что принципиально возможно при $a \geqslant -2$. Тогда решаем уравнение

$ -u^2 + u + 1 - a = 1 + a - u^2 + 2u$

$u = -2a, \quad -1 \leqslant -2a < 0, \quad \dfrac{1}{2} \geqslant a > 0$

Подставим в неравенство:
$2 + a \geqslant (2a + 1)^2$
$2 + a \geqslant 4a^2 + 4a + 1$
$0 \geqslant 4a^2 + 3a - 1$
$ a \in \left[-1; \dfrac{1}{4}\right]$

Совмещая, получаем
$ 0 < a \leqslant \dfrac{1}{4} $

Но в ответе из положительных значений параметра присутствует только $\dfrac{1}{4}$. Где ещё можно отсеять полученный промежуток?

-- 01.06.2015, 02:00 --

Upd: при рассмотрении $2 + a < (u-1)^2$ получаем для параметра промежуток $\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)$.

[Brukvalub]

Где в решении учитывается вот это ограничение:

StaticZero в сообщении #1022117 писал(а):

$ -1 \leqslant u < 0$

[StaticZero]

Тут:

StaticZero в сообщении #1022117 писал(а):

$u = -2a, \quad -1 \leqslant -2a < 0, \quad \dfrac{1}{2} \geqslant a > 0$

[grizzly]

А как-то отражается в Вашем решении условие:

StaticZero в сообщении #1022117 писал(а):

имеет единственный корень

?

[StaticZero]

Ограничением на единственное по $u$ решение в данной области, ведь на указанном промежутке между $x$ и $u$ есть биекция из-за монотонности $\cos x$.

[Brukvalub]

Тогда возьмите $a=0.125$ и "руками" заново решите задачу для этого значения параметра. Этим вы либо опровергните ответ авторов, либо обнаружите свою ошибку.

[StaticZero]

Область параметра, в которой есть корень $u = -2a$, попадающий в $\left[-1; 0\right)$, такова: $\left(0; \dfrac{1}{4}\right]$.

Область параметра, в которой есть корень $-\dfrac{1}{2}$, такова: $\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)$.

Разность множеств является ответом и равна $\left( -\infty; 0\right] \cup \left\{\dfrac{1}{4}\right\}$.

Спасибо большое, я понял свой косяк.