Норма оператора

[Danmir]

Доброго времени суток. Решаю вот такую задачу:
Найти норму оператора, действующего из ${ l }_{ 2 }\rightarrow { l }_{ 2 }$ и проверить, является ли он достижимым, если $Ax=({ e }^{ -1 }{ \xi }_{ 1 },{ e }^{ \frac { -1 }{ 2 } }{ \xi }_{ 2 },{ ...,e }^{ \frac { -1 }{ n } }{ \xi }_{ n },...)$
Итак, что я делал: пытался оценить сверху. Считая $\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\frac { 1 }{ n } } } =1$ получил оценку сверху ${ \left\| Ax \right\| }_{ l_2 }={ { (\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ { |{ e }^{ -\frac { 1 }{ n } }{ \xi }_{ n }| }^{ 2 } } ) } }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\le { { (\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ { |{ \xi }_{ n }| }^{ 2 } } ) } }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\le \left\| x \right\| $ и теперь с достижимостью не понимаю как дальше. Если бы последовательность убывала, то я взял бы последовательность из моего пространства и показал, что на ней достигается норма и оценка не завышена, а как быть в таком случае ?
Спасибо.

[Brukvalub]

А что будет, если взять последовательность из нулей, заменить один нуль единичкой и двигать эту единичку вправо?