Факториальность в кольцах

[enko]

Известно что кольцо гауссовых чисел $Z[i]$ является факториальным т.е. любой элемент может быть представлен в виде произведения степеней простых элементов единственным образом(с точностью до порядка сомножителей).

Что можно сказать о других расширениях кольца целых чисел $Z[a]$
где например $a$ - корень уравнения $x^2 + b=0$ ; $b=±2; ±3; ±5$

[Someone]

В кольце $Z[\sqrt{-5}]$ разложение на простые множители не единственно:
$21=3\cdot 7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})$.

М.М.Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, "Наука", 1982.

[tolstopuz]

В $Z[\sqrt{-3}]$ 2\cdot 2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}). Но оно не целозамкнуто, поэтому обычно рассматривают $Z[(1+\sqrt{-3})/2]$, а оно факториально.

Из целых квадратичных колец с отрицательными дискриминантами факториальны только $Z[\sqrt{-1}]$, $Z[\sqrt{-2}]$, $Z[(1+\sqrt{-3})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-7})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-11})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-19})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-43})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-67})/2]$, $Z[(1+\sqrt{-163})/2]$.

[enko]

Цитата:

Из целых квадратичных колец с отрицательными дискриминантами факториальны только

Является ли евклидовость кольца необходимой для факториальности?
Являются ли вышеперечисленные кольца евклидовыми?
Доказать что кольцо факториально можно, но как доказывается что нет других?

На сколько отличаются свойства квадратичных колец от свойств кольца целых чисел?
Может в них не верна теорема Ферма?

Какие кроме квадратичных есть факториальные\евклидовы расширения кольца целых чисел?

[tolstopuz]

enko писал(а):

Является ли евклидовость кольца необходимой для факториальности?

Нет.

enko писал(а):

Являются ли вышеперечисленные кольца евклидовыми?

Четыре последних - нет, остальные - да.

enko писал(а):

Доказать что кольцо факториально можно, но как доказывается что нет других?

Судя по тому, что это было доказано только в 1952 году, доказывается сложно.
http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number

enko писал(а):

На сколько отличаются свойства квадратичных колец от свойств кольца целых чисел?
Может в них не верна теорема Ферма?

Не знаю. По крайней мере доказательство теоремы Ферма для $n=3$ наиболее естественным образом проводится в $Z[(1+\sqrt{-3})/2]$.

enko писал(а):

Какие кроме квадратичных есть факториальные\евклидовы расширения кольца целых чисел?

Не знаю. Алгебраическая теория чисел - очень сложная теория